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Theorem mersenne 25730
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2 2nn0 11902 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32numexp1 16401 . . . . . 6 (2↑1) = 2
4 df-2 11688 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2841 . . . . 5 (2↑1) = (1 + 1)
6 prmuz2 16028 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
76adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2gt1 12308 . . . . . . 7 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
97, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10 1red 10630 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
13 2ne0 11729 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
1512, 14, 1reexpclzd 13598 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
1610, 10, 15ltaddsubd 11228 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
179, 16mpbird 258 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
185, 17eqbrtrid 5092 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
19 1zzd 12001 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
20 1lt2 11796 . . . . . 6 1 < 2
2120a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
2212, 19, 1, 21ltexp2d 13602 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
2318, 22mpbird 258 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
24 eluz2b1 12307 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
251, 23, 24sylanbrc 583 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
26 simpllr 772 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
27 prmnn 16006 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2928nncnd 11642 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
30 2nn 11698 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
31 elfzuz 12892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
3231ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
33 eluz2nn 12272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
3534nnnn0d 11943 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 nnexpcl 13430 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3730, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3837nnzd 12074 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
39 peano2zm 12013 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4140zred 12075 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
4241recnd 10657 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
43 0red 10632 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 ∈ ℝ)
44 1red 10630 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11150 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < 1)
47 eluz2gt1 12308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
4832, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 𝑘)
4911a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℝ)
50 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℤ)
51 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 2)
5449, 50, 52, 53ltexp2d 13602 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
5548, 54mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
565, 55eqbrtrrid 5093 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
5737nnred 11641 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
5844, 44, 57ltaddsubd 11228 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
5956, 58mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
6043, 44, 41, 46, 59lttrd 10789 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
61 elnnz 11979 . . . . . . . 8 (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
6240, 60, 61sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
6362nnne0d 11675 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
6429, 42, 63divcan2d 11406 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6564, 26eqeltrd 2910 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
66 eluz2b2 12309 . . . . . 6 (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6762, 59, 66sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2))
6837nncnd 11642 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
69 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
70 subeq0 10900 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7168, 69, 70sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7271necon3bid 3057 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
7363, 72mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
74 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘𝑃)
75 eluz2nn 12272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7625, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
78 nndivdvds 15604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
7977, 34, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8074, 79mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
8180nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ0)
8268, 73, 81geoser 15210 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
8315ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
8483recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
85 negsubdi2 10933 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8684, 69, 85sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8777nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
8834nncnd 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
8934nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
9087, 88, 89divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
9190oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
9249recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℂ)
9392, 81, 35expmuld 13501 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9491, 93eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9594oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
9686, 95eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
97 negsubdi2 10933 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9868, 69, 97sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
9996, 98oveq12d 7163 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
10029, 42, 63div2negd 11419 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
10182, 99, 1003eqtr2d 2859 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
102 fzfid 13329 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
103 elfznn0 12988 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
104 zexpcl 13432 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
10538, 103, 104syl2an 595 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
106102, 105fsumzcl 15080 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107101, 106eqeltrrd 2911 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
10842mulid2d 10647 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
109 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
110 elfzm11 12966 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
111109, 1, 110sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
112111biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
113112simp3d 1136 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
114113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
1151ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
11649, 52, 115, 53ltexp2d 13602 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
117114, 116mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
11857, 83, 44, 117ltsub1dd 11240 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
119108, 118eqbrtrd 5079 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
12028nnred 11641 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
121 ltmuldiv 11501 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
12244, 120, 41, 60, 121syl112anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
123119, 122mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
124 eluz2b1 12307 . . . . . 6 ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125107, 123, 124sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2))
126 nprm 16020 . . . . 5 ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12767, 125, 126syl2anc 584 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12865, 127pm2.65da 813 . . 3 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘𝑃)
129128ralrimiva 3179 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃)
130 isprm3 16015 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃))
13125, 129, 130sylanbrc 583 1 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  cexp 13417  Σcsu 15030  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-prm 16004
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