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Theorem mertenslem1 14597
Description: Lemma for mertens 14599. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mertens.1 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑗) = 𝐴)
mertens.2 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
mertens.3 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
mertens.4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
mertens.5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
mertens.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑘)(𝐴 · (𝐺‘(𝑘𝑗))))
mertens.7 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
mertens.8 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
mertens.9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
mertens.10 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
mertens.11 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
mertens.12 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
mertens.13 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
Assertion
Ref Expression
mertenslem1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧,𝐵   𝑗,𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑦,𝑧   𝑡,𝑘,𝐴,𝑚,𝑛,𝑠,𝑦   𝑗,𝐸,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐾,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦,𝑧   𝑗,𝐹,𝑚,𝑛,𝑦   𝜓,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑤,𝑗,𝑇,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑚,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑡,𝑛,𝑠)   𝜓(𝑤,𝑠)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑗)   𝐵(𝑤,𝑘)   𝑇(𝑠)   𝐸(𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤,𝑡,𝑘,𝑠)   𝐺(𝑤,𝑡)   𝐻(𝑧,𝑤,𝑡,𝑗,𝑛,𝑠)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem mertenslem1
StepHypRef Expression
1 mertens.12 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜓 ∧ (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
21simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝜓)
3 mertens.11 . . . . . 6 (𝜓 ↔ (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
42, 3sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℕ ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
54simpld 475 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11336 . . 3 (𝜑𝑠 ∈ ℕ0)
71simprd 479 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
87simpld 475 . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ℕ0)
96, 8nn0addcld 11340 . 2 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0)
10 fzfid 12755 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) ∈ Fin)
11 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝜑)
12 elfznn0 12417 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → 𝑗 ∈ ℕ0)
13 mertens.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
1411, 12, 13syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 eqid 2620 . . . . . . . 8 (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))
16 fznn0sub 12358 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
1716adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
18 peano2nn0 11318 . . . . . . . . . 10 ((𝑚𝑗) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11465 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
21 simplll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
22 eluznn0 11742 . . . . . . . . . 10 ((((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2319, 22sylan 488 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 mertens.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
2521, 23, 24syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
26 mertens.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
2721, 23, 26syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 mertens.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
2928ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
30 nn0uz 11707 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
31 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 𝜑)
3224, 26eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3331, 32sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3430, 19, 33iserex 14368 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (seq0( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ↔ seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ ))
3529, 34mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
3615, 20, 25, 27, 35isumcl 14473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
3714, 36mulcld 10045 . . . . . 6 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3810, 37fsumcl 14445 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℂ)
3938abscld 14156 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4037abscld 14156 . . . . 5 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
4110, 40fsumrecl 14446 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
42 mertens.9 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 11857 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
4443adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℝ)
4510, 37fsumabs 14514 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
46 fzfid 12755 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ∈ Fin)
476adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
4847nn0ge0d 11339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ≤ 𝑠)
49 eluzelz 11682 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → 𝑚 ∈ ℤ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5150zred 11467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℝ)
5247nn0red 11337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℝ)
5351, 52subge02d 10604 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0 ≤ 𝑠 ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
5448, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ≤ 𝑚)
5547, 30syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (ℤ‘0))
565nnzd 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑠 ∈ ℤ)
57 uzid 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → 𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑠 ∈ (ℤ𝑠))
59 uzaddcl 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑡 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
6058, 8, 59syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠))
61 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑠) = (ℤ𝑠)
6261uztrn2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑠 + 𝑡) ∈ (ℤ𝑠) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
6360, 62sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑠))
64 elfzuzb 12321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑠 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑠)))
6555, 63, 64sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ (0...𝑚))
66 fznn0sub2 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚))
68 elfzelz 12327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℤ)
70 eluz 11686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑠) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7169, 50, 70syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) ↔ (𝑚𝑠) ≤ 𝑚))
7254, 71mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)))
73 fzss2 12366 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑚𝑠)) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ (0...𝑚))
7574sselda 3595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
7613abscld 14156 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7711, 12, 76syl2an 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7836abscld 14156 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
7977, 78remulcld 10055 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8075, 79syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
8146, 80fsumrecl 14446 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
82 fzfid 12755 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin)
83 elfznn0 12417 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℕ0)
85 peano2nn0 11318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝑠) ∈ ℕ0 → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ ℕ0)
8786, 30syl6eleq 2709 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0))
88 fzss1 12365 . . . . . . . . . 10 (((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ‘0) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
8987, 88syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
9089sselda 3595 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (0...𝑚))
9190, 79syldan 487 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9282, 91fsumrecl 14446 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℝ)
9342rphalfcld 11869 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
9493rpred 11857 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ)
96 elfznn0 12417 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
9711, 96, 76syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9846, 97fsumrecl 14446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9998, 95remulcld 10055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
100 0zd 11374 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
101 eqidd 2621 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑗))
102 mertens.2 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
103102, 76eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
104 mertens.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
10530, 100, 101, 103, 104isumrecl 14477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
10613absge0d 14164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
107106, 102breqtrrd 4672 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐾𝑗))
10830, 100, 101, 103, 104, 107isumge0 14478 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
109105, 108ge0p1rpd 11887 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
110109adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ+)
11199, 110rerpdivcld 11888 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11293, 109rpdivcld 11874 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ+)
113112rpred 11857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
114113ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ)
11597, 114remulcld 10055 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) ∈ ℝ)
11675, 20syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℤ)
117 simplll 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
11875, 19syldan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
119118, 22sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
120117, 119, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
121117, 119, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
12275, 35syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → seq((𝑚𝑗) + 1)( + , 𝐺) ∈ dom ⇝ )
12315, 116, 120, 121, 122isumcl 14473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 ∈ ℂ)
124123abscld 14156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
12576, 106jca 554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
12611, 96, 125syl2an 494 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
127120sumeq2dv 14414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
128127fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
129 elfzelz 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ∈ ℤ)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℤ)
131130zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ∈ ℝ)
13249ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℤ)
133132zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑚 ∈ ℝ)
13456ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℤ)
135134zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ∈ ℝ)
136 elfzle2 12330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
137136adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑗 ≤ (𝑚𝑠))
138131, 133, 135, 137lesubd 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → 𝑠 ≤ (𝑚𝑗))
139132, 130zsubcld 11472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ ℤ)
140 eluz 11686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑗) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
141134, 139, 140syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) ↔ 𝑠 ≤ (𝑚𝑗)))
142138, 141mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠))
1434simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
144143ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
145 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (𝑛 + 1) = ((𝑚𝑗) + 1))
146145fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (ℤ‘(𝑛 + 1)) = (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1)))
147146sumeq1d 14412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚𝑗) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
148147fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚𝑗) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
149148breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
150149rspcv 3300 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑗) ∈ (ℤ𝑠) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑠)(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
151142, 144, 150sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
152128, 151eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) < ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
153124, 114, 152ltled 10170 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
154 lemul2a 10863 . . . . . . . . . 10 ((((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
155124, 114, 126, 153, 154syl31anc 1327 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15646, 80, 115, 155fsumle 14512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
15798recnd 10053 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℂ)
15893rpcnd 11859 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
159158adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝐸 / 2) ∈ ℂ)
160 peano2re 10194 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
161105, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
162161recnd 10053 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
163162adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℂ)
164109rpne0d 11862 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
165164adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ≠ 0)
166157, 159, 163, 165divassd 10821 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
167 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑗 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑗))
168167cbvsumv 14407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗)
169168oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1) = (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)
170169oveq2i 6646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
171170, 112syl5eqel 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℝ+)
172171rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
173172adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
17476recnd 10053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17511, 96, 174syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
17646, 173, 175fsummulc1 14498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))))
177170oveq2i 6646 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
178170oveq2i 6646 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
179178a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠)) → ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = ((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
180179sumeq2i 14410 . . . . . . . . . 10 Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑛 ∈ ℕ0 (𝐾𝑛) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
181176, 177, 1803eqtr3g 2677 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
182166, 181eqtrd 2654 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · ((𝐸 / 2) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))))
183156, 182breqtrrd 4672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
184105adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) ∈ ℝ)
185161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ)
186 0zd 11374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 0 ∈ ℤ)
187 fz0ssnn0 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0
188187a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...(𝑚𝑠)) ⊆ ℕ0)
189102adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
19076adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
191106adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
192104adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → seq0( + , 𝐾) ∈ dom ⇝ )
19330, 186, 46, 188, 189, 190, 191, 192isumless 14558 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
194102sumeq2dv 14414 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
195194adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 (abs‘𝐴))
196193, 195breqtrrd 4672 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ≤ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗))
197105ltp1d 10939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
198197adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
19998, 184, 185, 196, 198lelttrd 10180 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))
20093rpregt0d 11863 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
201200adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2)))
202 ltmul1 10858 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐸 / 2))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20398, 185, 201, 202syl3anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
204199, 203mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2)))
205109rpregt0d 11863 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
206205adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)))
207 ltdivmul 10883 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 2) ∈ ℝ ∧ ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
20899, 95, 206, 207syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) < ((Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1) · (𝐸 / 2))))
209204, 208mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))(abs‘𝐴) · (𝐸 / 2)) / (Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝐾𝑗) + 1)) < (𝐸 / 2))
21081, 111, 95, 183, 209lelttrd 10180 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
211 mertens.13 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ) ∧ (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧)))
212211simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
213 suprcl 10968 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
21594, 214remulcld 10055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
216211simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
217214, 216ge0p1rpd 11887 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ+)
218215, 217rerpdivcld 11888 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
219218adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
2205nnrpd 11855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℝ+)
22193, 220rpdivcld 11874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℝ+)
222221, 217rpdivcld 11874 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ+)
223222rpred 11857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
224223, 214remulcld 10055 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
225224ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℝ)
226 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝜑)
22790, 12syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
228226, 227, 76syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
229223ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ)
230226, 227, 102syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) = (abs‘𝐴))
231 elfzuz 12323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)))
232 eluzle 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
233232adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚)
2348nn0zd 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑡 ∈ ℤ)
235234adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
236235zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℝ)
23752, 236, 51leaddsub2d 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑠 + 𝑡) ≤ 𝑚𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
238233, 237mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑡 ≤ (𝑚𝑠))
239 eluz 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
240235, 69, 239syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) ↔ 𝑡 ≤ (𝑚𝑠)))
241238, 240mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡))
242 peano2uz 11726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚𝑠) ∈ (ℤ𝑡) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
243241, 242syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡))
244 uztrn 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑠) + 1)) ∧ ((𝑚𝑠) + 1) ∈ (ℤ𝑡)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
245231, 243, 244syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑡))
2467simprd 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
247246ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
248 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (𝐾𝑚) = (𝐾𝑗))
249248breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ↔ (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
250249rspcv 3300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑡)(𝐾𝑚) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
251245, 247, 250sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝐾𝑗) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
252230, 251eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) < (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
253228, 229, 252ltled 10170 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
254212ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧))
25551adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
256 peano2zm 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℤ → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
25756, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
258257zred 11467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
259258ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℝ)
260227nn0red 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 𝑗 ∈ ℝ)
26150zcnd 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑚 ∈ ℂ)
26252recnd 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℂ)
263 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℂ)
264261, 262, 263subsubd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
265264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) = ((𝑚𝑠) + 1))
266 elfzle1 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
267266adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑠) + 1) ≤ 𝑗)
268265, 267eqbrtrd 4666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚 − (𝑠 − 1)) ≤ 𝑗)
269255, 259, 260, 268subled 10615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1))
27090, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ ℕ0)
271270, 30syl6eleq 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0))
272257ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑠 − 1) ∈ ℤ)
273 elfz5 12319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚𝑗) ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝑠 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
274271, 272, 273syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ↔ (𝑚𝑗) ≤ (𝑠 − 1)))
275269, 274mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)))
276 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝜑)
27790, 19syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((𝑚𝑗) + 1) ∈ ℕ0)
278277, 22sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
279276, 278, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))) → (𝐺𝑘) = 𝐵)
280279sumeq2dv 14414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)
281280eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵 = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))
282281fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘)))
283148eqeq2d 2630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑚𝑗) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))))
284283rspcev 3304 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚𝑗) ∈ (0...(𝑠 − 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))(𝐺𝑘))) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
285275, 282, 284syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
286 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ V
287 eqeq1 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
288287rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) → (∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)) ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))))
289 mertens.10 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = {𝑧 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))𝑧 = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘))}
290286, 288, 289elab2 3348 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇 ↔ ∃𝑛 ∈ (0...(𝑠 − 1))(abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))(𝐺𝑘)))
291285, 290sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇)
292 suprub 10969 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑤𝑇 𝑤𝑧) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ 𝑇) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
293254, 291, 292syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < ))
294226, 227, 125syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
29590, 78syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ)
29636absge0d 14164 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
29790, 296syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))
298295, 297jca 554 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
299214ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
300 lemul12a 10866 . . . . . . . . . . 11 (((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℝ) ∧ (((abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
301294, 229, 298, 299, 300syl22anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → (((abs‘𝐴) ≤ (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∧ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵) ≤ sup(𝑇, ℝ, < )) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
302253, 293, 301mp2and 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
30382, 91, 225, 302fsumle 14512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
304224recnd 10053 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
305304adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ)
306 fsumconst 14503 . . . . . . . . . 10 (((((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin ∧ ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
30782, 305, 306syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = ((#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
308 1zzd 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 1 ∈ ℤ)
30956adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
310 fzen 12343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℤ) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
311308, 309, 69, 310syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))))
312 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
31369zcnd 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℂ)
314 addcom 10207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑚𝑠) ∈ ℂ) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
315312, 313, 314sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1 + (𝑚𝑠)) = ((𝑚𝑠) + 1))
316262, 261pncan3d 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 + (𝑚𝑠)) = 𝑚)
317315, 316oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((1 + (𝑚𝑠))...(𝑠 + (𝑚𝑠))) = (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
318311, 317breqtrd 4670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚))
319 fzfid 12755 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (1...𝑠) ∈ Fin)
320 hashen 13118 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑠) ∈ Fin ∧ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚) ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑠)) = (#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
321319, 82, 320syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((#‘(1...𝑠)) = (#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) ↔ (1...𝑠) ≈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
322318, 321mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (#‘(1...𝑠)) = (#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
323 hashfz1 13117 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑠)) = 𝑠)
32447, 323syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (#‘(1...𝑠)) = 𝑠)
325322, 324eqtr3d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = 𝑠)
326325oveq1d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((#‘(((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
327214recnd 10053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ)
328217rpcnne0d 11866 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0))
329 div23 10689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐸 / 2) ∈ ℂ ∧ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
330158, 327, 328, 329syl3anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
33156zcnd 11468 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑠 ∈ ℂ)
332221rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ)
333 divass 10688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℂ ∧ ((𝐸 / 2) / 𝑠) ∈ ℂ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℂ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≠ 0)) → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
334331, 332, 328, 333syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
3355nnne0d 11050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑠 ≠ 0)
336158, 331, 335divcan2d 10788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) = (𝐸 / 2))
337336oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑠 · ((𝐸 / 2) / 𝑠)) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
338334, 337eqtr3d 2656 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) = ((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
339338oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )))
340222rpcnd 11859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) ∈ ℂ)
341331, 340, 327mulassd 10048 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑠 · (((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))))
342330, 339, 3413eqtr2rd 2661 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
343342adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑠 · ((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < ))) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
344307, 326, 3433eqtrd 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((((𝐸 / 2) / 𝑠) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) · sup(𝑇, ℝ, < )) = (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
345303, 344breqtrd 4670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ≤ (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
346 peano2re 10194 . . . . . . . . . . 11 (sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
347214, 346syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
348214ltp1d 10939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
349214, 347, 93, 348ltmul2dd 11913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
350215, 94, 217ltdivmul2d 11909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2) ↔ ((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) < ((𝐸 / 2) · (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))))
351349, 350mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
352351adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (((𝐸 / 2) · sup(𝑇, ℝ, < )) / (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)) < (𝐸 / 2))
35392, 219, 95, 345, 352lelttrd 10180 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < (𝐸 / 2))
35481, 92, 95, 95, 210, 353lt2addd 10635 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) < ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)))
35514, 36absmuld 14174 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → (abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
356355sumeq2dv 14414 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
35769zred 11467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) ∈ ℝ)
358357ltp1d 10939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1))
359 fzdisj 12353 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) < ((𝑚𝑠) + 1) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
360358, 359syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((0...(𝑚𝑠)) ∩ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)) = ∅)
361 fzsplit 12352 . . . . . . . 8 ((𝑚𝑠) ∈ (0...𝑚) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
36267, 361syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (0...𝑚) = ((0...(𝑚𝑠)) ∪ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)))
36379recnd 10053 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑚)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) ∈ ℂ)
364360, 362, 10, 363fsumsplit 14452 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) = (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))))
365356, 364eqtr2d 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (Σ𝑗 ∈ (0...(𝑚𝑠))((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) + Σ𝑗 ∈ (((𝑚𝑠) + 1)...𝑚)((abs‘𝐴) · (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)))
36642rpcnd 11859 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
367366adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → 𝐸 ∈ ℂ)
3683672halvesd 11263 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → ((𝐸 / 2) + (𝐸 / 2)) = 𝐸)
369354, 365, 3683brtr3d 4675 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(abs‘(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
37039, 41, 44, 45, 369lelttrd 10180 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))) → (abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
371370ralrimiva 2963 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
372 fveq2 6178 . . . 4 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (ℤ𝑦) = (ℤ‘(𝑠 + 𝑡)))
373372raleqdv 3139 . . 3 (𝑦 = (𝑠 + 𝑡) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸))
374373rspcev 3304 . 2 (((𝑠 + 𝑡) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 𝑡))(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
3759, 371, 374syl2anc 692 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑦)(abs‘Σ𝑗 ∈ (0...𝑚)(𝐴 · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘((𝑚𝑗) + 1))𝐵)) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  {cab 2606  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  cun 3565  cin 3566  wss 3567  c0 3907   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  cfv 5876  (class class class)co 6635  cen 7937  Fincfn 7940  supcsup 8331  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  ...cfz 12311  seqcseq 12784  #chash 13100  abscabs 13955  cli 14196  Σcsu 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398
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