MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met0 22053
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
met0 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)

Proof of Theorem met0
StepHypRef Expression
1 metxmet 22044 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmet0 22052 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
31, 2sylan 488 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  ∞Metcxmt 19645  Metcme 19646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-mulcl 9943  ax-i2m1 9949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-xadd 11891  df-xmet 19653  df-met 19654
This theorem is referenced by:  ovolctb  23160  mettrifi  33171  isbnd3  33201  rrnequiv  33252
  Copyright terms: Public domain W3C validator