MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met1stc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met1stc 22373
Description: The topology generated by a metric space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
met1stc (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)

Proof of Theorem met1stc
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 22292 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
31mopnuni 22293 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
43eleq2d 2716 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋𝑥 𝐽))
54biimpar 501 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
6 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝑋)
8 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
109rpreccld 11920 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1110rpxrd 11911 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ*)
121blopn 22352 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
136, 7, 11, 12syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ 𝐽)
14 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
1513, 14fmptd 6425 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ⟶𝐽)
16 frn 6091 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ⟶𝐽 → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
18 nnex 11064 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
1918mptex 6527 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
2019rnex 7142 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ V
2120elpw 4197 . . . . . 6 (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ⊆ 𝐽)
2217, 21sylibr 224 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽)
23 omelon 8581 . . . . . . . . 9 ω ∈ On
24 nnenom 12819 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
2524ensymi 8047 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
26 isnumi 8810 . . . . . . . . 9 ((ω ∈ On ∧ ω ≈ ℕ) → ℕ ∈ dom card)
2723, 25, 26mp2an 708 . . . . . . . 8 ℕ ∈ dom card
28 ovex 6718 . . . . . . . . . 10 (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) ∈ V
2928, 14fnmpti 6060 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ
30 dffn4 6159 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) Fn ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))))
3129, 30mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))
32 fodomnum 8918 . . . . . . . 8 (ℕ ∈ dom card → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))):ℕ–onto→ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ))
3327, 31, 32mp2 9 . . . . . . 7 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ
34 domentr 8056 . . . . . . 7 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
3533, 24, 34mp2an 708 . . . . . 6 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω)
37 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
38 simprl 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑧𝐽)
39 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → 𝑥𝑧)
401mopni2 22345 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝐽𝑥𝑧) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
4137, 38, 39, 40syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
42 simp-4l 823 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
43 simp-4r 824 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥𝑋)
44 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℕ)
4544nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
4645rpreccld 11920 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
47 blcntr 22265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ (1 / 𝑦) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4842, 43, 46, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
4946rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ*)
50 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
5150rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
52 nnrecre 11095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5352ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
5450rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
55 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) < 𝑟)
5653, 54, 55ltled 10223 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (1 / 𝑦) ≤ 𝑟)
57 ssbl 22275 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ (1 / 𝑦) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
5842, 43, 49, 51, 56, 57syl221anc 1377 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
59 simplrr 818 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)
6058, 59sstrd 3646 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)
6148, 60jca 553 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑦) < 𝑟)) → (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
62 elrp 11872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
63 nnrecl 11328 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6462, 63sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6564ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (1 / 𝑦) < 𝑟)
6661, 65reximddv 3047 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟) ⊆ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
6741, 66rexlimddv 3064 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
68 ovexd 6720 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∈ V)
69 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑤 ∈ V
70 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑦 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑦))
7170oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑦 → (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)) = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7271cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)))
7372elrnmpt 5404 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
7469, 73mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
75 eleq2 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑥𝑤𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))))
76 sseq1 3659 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → (𝑤𝑧 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧))
7775, 76anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7877adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) ∧ 𝑤 = (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦))) → ((𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
7968, 74, 78rexxfr2d 4913 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑦)) ⊆ 𝑧)))
8067, 79mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑧𝐽𝑥𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))
8180expr 642 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8281ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
83 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (𝑦 ≼ ω ↔ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω))
84 rexeq 3169 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))
8584imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8685ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)) ↔ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8783, 86anbi12d 747 . . . . . 6 (𝑦 = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) → ((𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))) ↔ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
8887rspcev 3340 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ∈ 𝒫 𝐽 ∧ (ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛))) ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤 ∈ ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥(ball‘𝐷)(1 / 𝑛)))(𝑥𝑤𝑤𝑧)))) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
8922, 36, 82, 88syl12anc 1364 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
905, 89syldan 486 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
9190ralrimiva 2995 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧))))
92 eqid 2651 . . 3 𝐽 = 𝐽
9392is1stc2 21293 . 2 (𝐽 ∈ 1st𝜔 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 ∈ 𝒫 𝐽(𝑦 ≼ ω ∧ ∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧 → ∃𝑤𝑦 (𝑥𝑤𝑤𝑧)))))
942, 91, 93sylanbrc 699 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cen 7994  cdom 7995  cardccrd 8799  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  +crp 11870  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784  Topctop 20746  1st𝜔c1stc 21288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-1stc 21290
This theorem is referenced by:  metelcls  23149  metcnp4  23154  metcn4  23155
  Copyright terms: Public domain W3C validator