MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met2ndc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem met2ndc 22233
Description: A metric space is second-countable iff it is separable (has a countable dense subset). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
met2ndc (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋

Proof of Theorem met2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2626 . . . 4 𝐽 = 𝐽
212ndcsep 21167 . . 3 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽))
3 methaus.1 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopnuni 22151 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54pweqd 4140 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝒫 𝑋 = 𝒫 𝐽)
64eqeq2d 2636 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋 ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽))
76anbi2d 739 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ (𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽)))
85, 7rexeqbidv 3147 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝐽(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝐽)))
92, 8syl5ibr 236 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
10 elpwi 4145 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
113met2ndci 22232 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)
12113exp2 1282 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → (𝑥 ≼ ω → (((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋𝐽 ∈ 2nd𝜔))))
1312imp4a 613 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)))
1410, 13syl5 34 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 → ((𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)))
1514rexlimdv 3028 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔))
169, 15impbid 202 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑋(𝑥 ≼ ω ∧ ((cls‘𝐽)‘𝑥) = 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wrex 2913  wss 3560  𝒫 cpw 4135   cuni 4407   class class class wbr 4618  cfv 5850  ωcom 7013  cdom 7898  ∞Metcxmt 19645  MetOpencmopn 19650  clsccl 20727  2nd𝜔c2ndc 21146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-2ndc 21148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator