MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcl 22869
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 22867 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2 fovrn 7307 . 2 ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
31, 2syl3an1 1155 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079  wcel 2105   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  Metcmet 20459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-met 20467
This theorem is referenced by:  mettri2  22878  metrtri  22894  prdsmet  22907  imasf1omet  22913  blpnf  22934  bl2in  22937  mscl  22998  metss2lem  23048  methaus  23057  nmf2  23129  metdsre  23388  iscmet3lem1  23821  minveclem2  23956  minveclem3b  23958  minveclem3  23959  minveclem4  23962  minveclem7  23965  dvlog2lem  25162  vacn  28398  nmcvcn  28399  smcnlem  28401  blocni  28509  minvecolem2  28579  minvecolem3  28580  minvecolem4  28584  minvecolem7  28587  metf1o  34911  mettrifi  34913  lmclim2  34914  geomcau  34915  isbnd3  34943  isbnd3b  34944  ssbnd  34947  totbndbnd  34948  equivbnd  34949  prdsbnd  34952  heibor1lem  34968  heiborlem6  34975  bfplem1  34981  bfplem2  34982  bfp  34983  rrncmslem  34991  rrnequiv  34994  rrntotbnd  34995  ioorrnopnlem  42466
  Copyright terms: Public domain W3C validator