Theorem metcl 22184

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
metcl	⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf 22182	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2		fovrn 6846	. 2 ⊢ ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl3an1 1399	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  Metcme 19780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-met 19788

This theorem is referenced by:  mettri2  22193  metrtri  22209  prdsmet  22222  imasf1omet  22228  blpnf  22249  bl2in  22252  mscl  22313  metss2lem  22363  methaus  22372  nmf2  22444  metdsre  22703  iscmet3lem1  23135  minveclem2  23243  minveclem3b  23245  minveclem3  23246  minveclem4  23249  minveclem7  23252  dvlog2lem  24443  vacn  27677  nmcvcn  27678  smcnlem  27680  blocni  27788  minvecolem2  27859  minvecolem3  27860  minvecolem4  27864  minvecolem7  27867  metf1o  33681  mettrifi  33683  lmclim2  33684  geomcau  33685  isbnd3  33713  isbnd3b  33714  ssbnd  33717  totbndbnd  33718  equivbnd  33719  prdsbnd  33722  heibor1lem  33738  heiborlem6  33745  bfplem1  33751  bfplem2  33752  bfp  33753  rrncmslem  33761  rrnequiv  33764  rrntotbnd  33765  ioorrnopnlem  40842