Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcld 23044
 Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcld ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐷   𝑓,𝐽,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 22185 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
32adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
41mopnuni 22186 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
54sseq2d 3618 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑆𝑋𝑆 𝐽))
65biimpa 501 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆 𝐽)
7 eqid 2621 . . . 4 𝐽 = 𝐽
87iscld4 20809 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))
93, 6, 8syl2anc 692 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))
10 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝑋)
121, 10, 11metelcls 23043 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥)))
1312imbi1d 331 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑥𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
14 19.23v 1899 . . . . 5 (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (∃𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆))
1513, 14syl6rbbr 279 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑥𝑆)))
1615albidv 1846 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑥𝑆)))
17 dfss2 3577 . . 3 (((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) → 𝑥𝑆))
1816, 17syl6bbr 278 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆) ↔ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆))
199, 18bitr4d 271 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∀𝑥𝑓((𝑓:ℕ⟶𝑆𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥) → 𝑥𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384  ∀wal 1478   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3560  ∪ cuni 4409   class class class wbr 4623  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  ℕcn 10980  ∞Metcxmt 19671  MetOpencmopn 19676  Topctop 20638  Clsdccld 20760  clsccl 20762  ⇝𝑡clm 20970 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-acn 8728  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-fz 12285  df-topgen 16044  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-top 20639  df-topon 20656  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-lm 20973  df-1stc 21182 This theorem is referenced by:  metcld2  23045
 Copyright terms: Public domain W3C validator