MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcn 22099
Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon" 𝑦 there is a positive "delta" 𝑧 such that a distance less than delta in 𝐶 maps to a distance less than epsilon in 𝐷. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcn ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
21mopntopon 21995 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 metcn.4 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 21995 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 cncnp 20836 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
62, 4, 5syl2an 492 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥))))
71, 3metcnp 22097 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
873expa 1256 . . . . . 6 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
98adantlr 746 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
10 simplr 787 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋𝑌)
1110biantrurd 527 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
129, 11bitr4d 269 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
1312ralbidva 2967 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥) ↔ ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
1413pm5.32da 670 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑥)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
156, 14bitrd 266 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527   < clt 9930  +crp 11664  ∞Metcxmt 19498  MetOpencmopn 19503  TopOnctopon 20460   Cn ccn 20780   CnP ccnp 20781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-topgen 15873  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-cn 20783  df-cnp 20784
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22239  nghmcn  22291  metdscn  22398  divcn  22410  cncfmet  22450  nmcvcn  26735  blocni  26850  hhcno  27953  hhcnf  27954  fmcncfil  29111  heicant  32417
  Copyright terms: Public domain W3C validator