Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcn4 23017
 Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128. (Contributed by NM, 13-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcnp4.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metcnp4.5 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
metcnp4.6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
metcn4.7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
Assertion
Ref Expression
metcn4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐶   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝐹,𝑥   𝑓,𝐽,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥   𝑓,𝑋,𝑥   𝑓,𝑌,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥

Proof of Theorem metcn4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metcnp4.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
32met1stc 22236 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ 1st𝜔)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ 1st𝜔)
52mopntopon 22154 . . 3 (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
61, 5syl 17 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7 metcnp4.6 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
8 metcnp4.4 . . . 4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
98mopntopon 22154 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
107, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
11 metcn4.7 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
124, 6, 10, 111stccn 21176 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑓(𝑓:ℕ⟶𝑋 → ∀𝑥(𝑓(⇝𝑡𝐽)𝑥 → (𝐹𝑓)(⇝𝑡𝐾)(𝐹𝑥)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196  ∀wal 1478   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613   ∘ ccom 5078  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℕcn 10964  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  TopOnctopon 20618   Cn ccn 20938  ⇝𝑡clm 20940  1st𝜔c1stc 21150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-acn 8712  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-fz 12269  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-1stc 21152 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator