Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdcnlem 22547
 Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xmetdcn2.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xmetdcn2.2 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
xmetdcn2.3 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdcn.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdcn.a (𝜑𝐴𝑋)
metdcn.b (𝜑𝐵𝑋)
metdcn.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdcn.y (𝜑𝑌𝑋)
metdcn.z (𝜑𝑍𝑋)
metdcn.4 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
metdcn.5 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
Assertion
Ref Expression
metdcnlem (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)

Proof of Theorem metdcnlem
StepHypRef Expression
1 xmetdcn2.2 . . . . 5 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
21xrsxmet 22520 . . . 4 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*))
4 metdcn.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metdcn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
6 metdcn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
7 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
84, 5, 6, 7syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
9 metdcn.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
10 metdcn.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
11 xmetcl 22046 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
124, 9, 10, 11syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
13 xmetcl 22046 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
144, 9, 6, 13syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
15 metdcn.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
1615rphalfcld 11828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ+)
1716rpred 11816 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
18 xmetcl 22046 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
193, 8, 14, 18syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ*)
20 xmetcl 22046 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑌𝑋) → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
214, 5, 9, 20syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) ∈ ℝ*)
2216rpxrd 11817 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
231xmetrtri2 22071 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝑋𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
244, 5, 9, 6, 23syl13anc 1325 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝑌))
25 metdcn.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑌) < (𝑅 / 2))
2619, 21, 22, 24, 25xrlelttrd 11935 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2))
27 xrltle 11926 . . . . . . 7 ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2)))
2819, 22, 27syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) < (𝑅 / 2) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2)))
2926, 28mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))
30 xmetlecl 22061 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
313, 8, 14, 17, 29, 30syl122anc 1332 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ)
32 xmetcl 22046 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
333, 14, 12, 32syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ*)
34 xmetcl 22046 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑍𝑋) → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
354, 6, 10, 34syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) ∈ ℝ*)
36 xmetsym 22062 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝐵𝑋) → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
374, 9, 6, 36syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝑌))
38 xmetsym 22062 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
394, 9, 10, 38syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝐷𝑍) = (𝑍𝐷𝑌))
4037, 39oveq12d 6622 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) = ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)))
411xmetrtri2 22071 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝑍𝑋𝑌𝑋)) → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
424, 6, 10, 9, 41syl13anc 1325 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐷𝑌)𝐶(𝑍𝐷𝑌)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
4340, 42eqbrtrd 4635 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝐵𝐷𝑍))
44 metdcn.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐷𝑍) < (𝑅 / 2))
4533, 35, 22, 43, 44xrlelttrd 11935 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2))
46 xrltle 11926 . . . . . . 7 ((((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ* ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2)))
4733, 22, 46syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < (𝑅 / 2) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2)))
4845, 47mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))
49 xmetlecl 22061 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (𝑅 / 2))) → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
503, 14, 12, 17, 48, 49syl122anc 1332 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5131, 50readdcld 10013 . . 3 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ)
52 xmettri 22066 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝐵) ∈ ℝ*)) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
533, 8, 12, 14, 52syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
54 rexadd 12006 . . . . 5 ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ) → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5531, 50, 54syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) +𝑒 ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) = (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
5653, 55breqtrd 4639 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))
57 xmetlecl 22061 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*) ∧ ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝑌𝐷𝑍) ∈ ℝ*) ∧ ((((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ≤ (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))))) → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
583, 8, 12, 51, 56, 57syl122anc 1332 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) ∈ ℝ)
5915rpred 11816 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6031, 50, 59, 26, 45lt2halvesd 11224 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝐵)) + ((𝑌𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍))) < 𝑅)
6158, 51, 59, 56, 60lelttrd 10139 1 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐵)𝐶(𝑌𝐷𝑍)) < 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝcr 9879   + caddc 9883  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  2c2 11014  ℝ+crp 11776   +𝑒 cxad 11888  distcds 15871  ℝ*𝑠cxrs 16081  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-xrs 16083  df-xmet 19658 This theorem is referenced by:  xmetdcn2  22548
 Copyright terms: Public domain W3C validator