MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metds0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metds0 22825
Description: If a point is in a set, its distance to the set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metds0 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metds0
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 22823 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
323adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4 ssel2 3727 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
543adant1 1122 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
63, 5ffvelrnd 6511 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
7 elxrge0 12445 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
87simplbi 478 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
10 xrleid 12147 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴))
12 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13 simp2 1129 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 𝑆𝑋)
141metdsge 22824 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
1512, 13, 5, 9, 14syl31anc 1466 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝐹𝐴) ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅))
1611, 15mpbid 222 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅)
17 simpl3 1208 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑆)
1812adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
195adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴𝑋)
209adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
21 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < (𝐹𝐴))
22 xblcntr 22388 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 < (𝐹𝐴))) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
2318, 19, 20, 21, 22syl112anc 1467 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴)))
24 inelcm 4164 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2517, 23, 24syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅)
2625ex 449 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) → (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) ≠ ∅))
2726necon2bd 2936 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)(𝐹𝐴))) = ∅ → ¬ 0 < (𝐹𝐴)))
2816, 27mpd 15 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → ¬ 0 < (𝐹𝐴))
297simprbi 483 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
306, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
31 0xr 10249 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
32 xrleloe 12141 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3331, 9, 32sylancr 698 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
3430, 33mpbid 222 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
3534ord 391 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
3628, 35mpd 15 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → 0 = (𝐹𝐴))
3736eqcomd 2754 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  cin 3702  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792  cmpt 4869  ran crn 5255  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  infcinf 8500  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  [,]cicc 12342  ∞Metcxmt 19904  ballcbl 19906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-po 5175  df-so 5176  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-2 11242  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-icc 12346  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-bl 19914
This theorem is referenced by:  metdsle  22827  metnrmlem1  22834
  Copyright terms: Public domain W3C validator