MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscn 23391
Description: The function 𝐹 which gives the distance from a point to a set is a continuous function into the metric topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
metdscn ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscn
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
21metdsf 23383 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3 iccssxr 12807 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 fss 6520 . . 3 ((𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
52, 3, 4sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6 simprr 769 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
75ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
8 simplrl 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑧𝑋)
97, 8ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ*)
10 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑤𝑋)
117, 10ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝐹𝑤) ∈ ℝ*)
12 metdscn.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
1312xrsdsval 20517 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑤) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
149, 11, 13syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))))
15 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
16 metdscn.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
17 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18 simpllr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑆𝑋)
19 simplrr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
20 xmetsym 22884 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑤𝑋𝑧𝑋) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
2117, 10, 8, 20syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) = (𝑧𝐷𝑤))
22 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)
2321, 22eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → (𝑤𝐷𝑧) < 𝑟)
241, 15, 12, 16, 17, 18, 10, 8, 19, 23metdscnlem 23390 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟)
251, 15, 12, 16, 17, 18, 8, 10, 19, 22metdscnlem 23390 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟)
26 breq1 5060 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
27 breq1 5060 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) = if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) → (((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟 ↔ if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟))
2826, 27ifboth 4501 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)) < 𝑟 ∧ ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤)) < 𝑟) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
2924, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → if((𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤), ((𝐹𝑤) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑧)), ((𝐹𝑧) +𝑒 -𝑒(𝐹𝑤))) < 𝑟)
3014, 29eqbrtrd 5079 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟)) → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)
3130expr 457 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3231ralrimiva 3179 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
33 breq2 5061 . . . . 5 (𝑠 = 𝑟 → ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑟))
3433rspceaimv 3625 . . . 4 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑟 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
356, 32, 34syl2anc 584 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
3635ralrimivva 3188 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))
37 simpl 483 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3812xrsxmet 23344 . . 3 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)
3915, 16metcn 23080 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (∞Met‘ℝ*)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
4037, 38, 39sylancl 586 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ* ∧ ∀𝑧𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑧𝐷𝑤) < 𝑠 → ((𝐹𝑧)𝐶(𝐹𝑤)) < 𝑟))))
415, 36, 40mpbir2and 709 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  +crp 12377  -𝑒cxne 12492   +𝑒 cxad 12493  [,]cicc 12729  distcds 16562  *𝑠cxrs 16761  ∞Metcxmet 20458  MetOpencmopn 20463   Cn ccn 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-topgen 16705  df-xrs 16763  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cn 21763  df-cnp 21764
This theorem is referenced by:  metdscn2  23392
  Copyright terms: Public domain W3C validator