Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdscnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdscnlem 22705
 Description: Lemma for metdscn 22706. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metdscn.c 𝐶 = (dist‘ℝ*𝑠)
metdscn.k 𝐾 = (MetOpen‘𝐶)
metdscnlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metdscnlem.2 (𝜑𝑆𝑋)
metdscnlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
metdscnlem.4 (𝜑𝐵𝑋)
metdscnlem.5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metdscnlem.6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
metdscnlem (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdscnlem
StepHypRef Expression
1 metdscnlem.1 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 metdscnlem.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
3 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
43metdsf 22698 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
51, 2, 4syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
6 metdscnlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
75, 6ffvelrnd 6400 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
8 elxrge0 12319 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
98simplbi 475 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
107, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
11 metdscnlem.4 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
125, 11ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 elxrge0 12319 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
1413simplbi 475 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1615xnegcld 12168 . . 3 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
1710, 16xaddcld 12169 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
18 xmetcl 22183 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
191, 6, 11, 18syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
20 metdscnlem.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2120rpxrd 11911 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
223metdstri 22701 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
231, 2, 6, 11, 22syl22anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵)))
248simprbi 479 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
257, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐴))
2613simprbi 479 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐵))
2712, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝐵))
28 ge0nemnf 12042 . . . . 5 (((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
2915, 27, 28syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐵) ≠ -∞)
30 xmetge0 22196 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
311, 6, 11, 30syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
32 xlesubadd 12131 . . . 4 ((((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) ≠ -∞ ∧ 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))) → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3310, 15, 19, 25, 29, 31, 32syl33anc 1381 . . 3 (𝜑 → (((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵) ↔ (𝐹𝐴) ≤ ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 (𝐹𝐵))))
3423, 33mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
35 metdscnlem.6 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐵) < 𝑅)
3617, 19, 21, 34, 35xrlelttrd 12029 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴) +𝑒 -𝑒(𝐹𝐵)) < 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℝ+crp 11870  -𝑒cxne 11981   +𝑒 cxad 11982  [,]cicc 12216  distcds 15997  ℝ*𝑠cxrs 16207  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789 This theorem is referenced by:  metdscn  22706
 Copyright terms: Public domain W3C validator