MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsge 22560
Description: The distance from the point 𝐴 to the set 𝑆 is greater than 𝑅 iff the 𝑅-ball around 𝐴 misses 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsge (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsge
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝐴𝑋)
2 metdscn.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
32metdsval 22558 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
41, 3syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐹𝐴) = inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
54breq2d 4625 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ 𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < )))
6 simpll1 1098 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
71adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝐴𝑋)
8 simpl2 1063 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑆𝑋)
98sselda 3583 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑤𝑋)
10 xmetcl 22046 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑤𝑋) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
116, 7, 9, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
12 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑤 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑤))
1312cbvmptv 4710 . . . . 5 (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) = (𝑤𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑤))
1411, 13fmptd 6340 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ*)
15 frn 6010 . . . 4 ((𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)):𝑆⟶ℝ* → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
1614, 15syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*)
17 simpr 477 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → 𝑅 ∈ ℝ*)
18 infxrgelb 12108 . . 3 ((ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)) ⊆ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
1916, 17, 18syl2anc 692 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦)), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧))
2017adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑅 ∈ ℝ*)
21 elbl2 22105 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑤𝑋)) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
226, 20, 7, 9, 21syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴𝐷𝑤) < 𝑅))
23 xrltnle 10049 . . . . . . 7 (((𝐴𝐷𝑤) ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2411, 20, 23syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐴𝐷𝑤) < 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2522, 24bitrd 268 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ ¬ 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
2625con2bid 344 . . . 4 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
2726ralbidva 2979 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤) ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)))
28 ovex 6632 . . . . 5 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
2928rgenw 2919 . . . 4 𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V
30 breq2 4617 . . . . 5 (𝑧 = (𝐴𝐷𝑤) → (𝑅𝑧𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3113, 30ralrnmpt 6324 . . . 4 (∀𝑤𝑆 (𝐴𝐷𝑤) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤)))
3229, 31ax-mp 5 . . 3 (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ ∀𝑤𝑆 𝑅 ≤ (𝐴𝐷𝑤))
33 disj 3989 . . 3 ((𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅ ↔ ∀𝑤𝑆 ¬ 𝑤 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅))
3427, 32, 333bitr4g 303 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑦𝑆 ↦ (𝐴𝐷𝑦))𝑅𝑧 ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
355, 19, 343bitrd 294 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑅 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (𝑆 ∩ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅)) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613  cmpt 4673  ran crn 5075  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660
This theorem is referenced by:  metds0  22561  metdstri  22562  metdseq0  22565  lebnumlem3  22670
  Copyright terms: Public domain W3C validator