MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metdsle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metdsle 22649
Description: The distance from a point to a set is bounded by the distance to any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
metdsle (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem metdsle
StepHypRef Expression
1 simprr 796 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
2 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝑆𝑋)
32sselda 3601 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑋)
43adantrr 753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → 𝐴𝑋)
51, 4jca 554 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐵𝑋𝐴𝑋))
6 metdscn.f . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
76metdstri 22648 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
85, 7syldan 487 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
9 simpll 790 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10 xmetsym 22146 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
119, 1, 4, 10syl3anc 1325 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
126metds0 22647 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
13123expa 1264 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
1413adantrr 753 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐹𝐴) = 0)
1511, 14oveq12d 6665 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
16 xmetcl 22130 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
179, 4, 1, 16syl3anc 1325 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
18 xaddid1 12069 . . . 4 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
1917, 18syl 17 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
2015, 19eqtrd 2655 . 2 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
218, 20breqtrd 4677 1 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572   class class class wbr 4651  cmpt 4727  ran crn 5113  cfv 5886  (class class class)co 6647  infcinf 8344  0cc0 9933  *cxr 10070   < clt 10071  cle 10072   +𝑒 cxad 11941  ∞Metcxmt 19725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-ec 7741  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-2 11076  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-icc 12179  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-bl 19735
This theorem is referenced by:  metdsre  22650
  Copyright terms: Public domain W3C validator