MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1 22417
Description: Lemma for metnrm 22420. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1
StepHypRef Expression
1 1re 9895 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 9948 . . 3 1 ∈ ℝ*
3 metnrmlem.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
43adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 metnrmlem.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 eqid 2609 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
87cldss 20590 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆 𝐽)
10 metdscn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1110mopnuni 22003 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
124, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑋 = 𝐽)
139, 12sseqtr4d 3604 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑆𝑋)
14 metdscn.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
1514metdsf 22406 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
164, 13, 15syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
17 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
1817adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
197cldss 20590 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇 𝐽)
2120, 12sseqtr4d 3604 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝑇𝑋)
22 simprr 791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑇)
2321, 22sseldd 3568 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐵𝑋)
2416, 23ffvelrnd 6252 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞))
25 elxrge0 12110 . . . . 5 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐵) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐵)))
2625simplbi 474 . . . 4 ((𝐹𝐵) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
2724, 26syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ∈ ℝ*)
28 ifcl 4079 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
292, 27, 28sylancr 693 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ∈ ℝ*)
30 simprl 789 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑆)
3113, 30sseldd 3568 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → 𝐴𝑋)
32 xmetcl 21893 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
334, 31, 23, 32syl3anc 1317 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ*)
34 xrmin2 11844 . . 3 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
352, 27, 34sylancr 693 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐹𝐵))
3614metdstri 22409 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
374, 13, 23, 31, 36syl22anc 1318 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)))
38 xmetsym 21909 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
394, 23, 31, 38syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
4014metds0 22408 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑆) → (𝐹𝐴) = 0)
414, 13, 30, 40syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐴) = 0)
4239, 41oveq12d 6544 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0))
43 xaddid1 11906 . . . . 5 ((𝐴𝐷𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4433, 43syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐴𝐷𝐵) +𝑒 0) = (𝐴𝐷𝐵))
4542, 44eqtrd 2643 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → ((𝐵𝐷𝐴) +𝑒 (𝐹𝐴)) = (𝐴𝐷𝐵))
4637, 45breqtrd 4603 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → (𝐹𝐵) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
4729, 27, 33, 35, 46xrletrd 11830 1 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑇)) → if(1 ≤ (𝐹𝐵), 1, (𝐹𝐵)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035   cuni 4366   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ran crn 5028  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  infcinf 8207  0cc0 9792  1c1 9793  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931   +𝑒 cxad 11778  [,]cicc 12007  ∞Metcxmt 19500  MetOpencmopn 19505  Clsdccld 20577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-ec 7608  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-icc 12011  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cld 20580
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  22419
  Copyright terms: Public domain W3C validator