MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem1a 22708
Description: Lemma for metnrm 22712. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
Assertion
Ref Expression
metnrmlem1a ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐷,𝑦   𝑦,𝐽   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem1a
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) = ∅)
3 inelcm 4065 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐴𝑇) → (𝑆𝑇) ≠ ∅)
43expcom 450 . . . . . . 7 (𝐴𝑇 → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴𝑆 → (𝑆𝑇) ≠ ∅))
65necon2bd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝑆𝑇) = ∅ → ¬ 𝐴𝑆))
72, 6mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 𝐴𝑆)
8 eqcom 2658 . . . . . 6 (0 = (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴) = 0)
9 metnrmlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
1211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
13 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
1413cldss 20881 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑆 𝐽)
1512, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆 𝐽)
16 metdscn.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716mopnuni 22293 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑋 = 𝐽)
1915, 18sseqtr4d 3675 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑆𝑋)
20 metnrmlem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
2213cldss 20881 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇 𝐽)
2423, 18sseqtr4d 3675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝑇𝑋)
25 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑇)
2624, 25sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐴𝑋)
27 metdscn.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
2827, 16metdseq0 22704 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
2910, 19, 26, 28syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((𝐹𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
308, 29syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆)))
31 cldcls 20894 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3212, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
3332eleq2d 2716 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐴 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝑆) ↔ 𝐴𝑆))
3430, 33bitrd 268 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 = (𝐹𝐴) ↔ 𝐴𝑆))
357, 34mtbird 314 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → ¬ 0 = (𝐹𝐴))
3627metdsf 22698 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3710, 19, 36syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑇) → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
3837, 26ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞))
39 elxrge0 12319 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝐴)))
4039simprbi 479 . . . . . 6 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
4138, 40syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ (𝐹𝐴))
42 0xr 10124 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
4339simplbi 475 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) ∈ (0[,]+∞) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
4438, 43syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑇) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ*)
45 xrleloe 12015 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4642, 44, 45sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 ≤ (𝐹𝐴) ↔ (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴))))
4741, 46mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∨ 0 = (𝐹𝐴)))
4847ord 391 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → (¬ 0 < (𝐹𝐴) → 0 = (𝐹𝐴)))
4935, 48mt3d 140 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < (𝐹𝐴))
50 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5150rexri 10135 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
52 ifcl 4163 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
5351, 44, 52sylancr 696 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*)
54 1red 10093 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 1 ∈ ℝ)
55 0lt1 10588 . . . . . 6 0 < 1
56 breq2 4689 . . . . . . 7 (1 = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < 1 ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
57 breq2 4689 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴) = if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → (0 < (𝐹𝐴) ↔ 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
5856, 57ifboth 4157 . . . . . 6 ((0 < 1 ∧ 0 < (𝐹𝐴)) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
5955, 49, 58sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
60 xrltle 12020 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ*) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6142, 53, 60sylancr 696 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴))))
6259, 61mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → 0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)))
63 xrmin1 12046 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝐴) ∈ ℝ*) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
6451, 44, 63sylancr 696 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)
65 xrrege0 12043 . . . 4 (((if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ≤ 1)) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6653, 54, 62, 64, 65syl22anc 1367 . . 3 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
6766, 59elrpd 11907 . 2 ((𝜑𝐴𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+)
6849, 67jca 553 1 ((𝜑𝐴𝑇) → (0 < (𝐹𝐴) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝐴), 1, (𝐹𝐴)) ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  +crp 11870  [,]cicc 12216  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784  Clsdccld 20868  clsccl 20870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873
This theorem is referenced by:  metnrmlem2  22710  metnrmlem3  22711
  Copyright terms: Public domain W3C validator