MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrmlem2 22864
Description: Lemma for metnrm 22866. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metdscn.f 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
metdscn.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
metnrmlem.1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
metnrmlem.2 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.3 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
metnrmlem.4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
metnrmlem.u 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
Assertion
Ref Expression
metnrmlem2 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑦   𝜑,𝑡   𝑡,𝑇,𝑥,𝑦   𝑡,𝑆,𝑥,𝑦   𝑡,𝑋,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑡)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem metnrmlem2
StepHypRef Expression
1 metnrmlem.u . . 3 𝑈 = 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2))
2 metnrmlem.1 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 metdscn.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntop 22446 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
62adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 metnrmlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽))
8 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
98cldss 21035 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝑇 𝐽)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 𝐽)
113mopnuni 22447 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
122, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 = 𝐽)
1310, 12sseqtr4d 3783 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑋)
1413sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡𝑋)
15 metdscn.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ inf(ran (𝑦𝑆 ↦ (𝑥𝐷𝑦)), ℝ*, < ))
16 metnrmlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽))
17 metnrmlem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑇) = ∅)
1815, 3, 2, 16, 7, 17metnrmlem1a 22862 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡𝑇) → (0 < (𝐹𝑡) ∧ if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+))
1918simprd 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡𝑇) → if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 12077 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+)
2120rpxrd 12066 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*)
223blopn 22506 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
236, 14, 21, 22syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
2423ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
25 iunopn 20905 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽) → 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
265, 24, 25syl2anc 696 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) ∈ 𝐽)
271, 26syl5eqel 2843 . 2 (𝜑𝑈𝐽)
28 blcntr 22419 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑡𝑋 ∧ (if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
296, 14, 20, 28syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3029snssd 4485 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑇) → {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3130ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
32 ss2iun 4688 . . . 4 (∀𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)) → 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
3331, 32syl 17 . . 3 (𝜑 𝑡𝑇 {𝑡} ⊆ 𝑡𝑇 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ (𝐹𝑡), 1, (𝐹𝑡)) / 2)))
34 iunid 4727 . . . 4 𝑡𝑇 {𝑡} = 𝑇
3534eqcomi 2769 . . 3 𝑇 = 𝑡𝑇 {𝑡}
3633, 35, 13sstr4g 3787 . 2 (𝜑𝑇𝑈)
3727, 36jca 555 1 (𝜑 → (𝑈𝐽𝑇𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  {csn 4321   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  infcinf 8512  0cc0 10128  1c1 10129  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  2c2 11262  +crp 12025  ∞Metcxmt 19933  ballcbl 19935  MetOpencmopn 19938  Topctop 20900  Clsdccld 21022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-icc 12375  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  22865
  Copyright terms: Public domain W3C validator