MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metres 22164
Description: A restriction of a metric is a metric. (Contributed by NM, 26-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))

Proof of Theorem metres
StepHypRef Expression
1 metf 22129 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2 fdm 6049 . . 3 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3 metreslem 22161 . . 3 (dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) = (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))))
5 inss1 3831 . . 3 (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋
6 metres2 22162 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑋𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
75, 6mpan2 707 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ ((𝑋𝑅) × (𝑋𝑅))) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
84, 7eqeltrd 2700 1 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘(𝑋𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  cin 3571  wss 3572   × cxp 5110  dom cdm 5112  cres 5114  wf 5882  cfv 5886  cr 9932  Metcme 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-mulcl 9995  ax-i2m1 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-xadd 11944  df-xmet 19733  df-met 19734
This theorem is referenced by:  ressms  22325
  Copyright terms: Public domain W3C validator