MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metres2 22078
Description: Lemma for metres 22080. (Contributed by FL, 12-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
metres2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))

Proof of Theorem metres2
StepHypRef Expression
1 metxmet 22049 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 xmetres2 22076 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
31, 2sylan 488 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅))
4 metf 22045 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
54adantr 481 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
6 simpr 477 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → 𝑅𝑋)
7 xpss12 5186 . . . 4 ((𝑅𝑋𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
86, 7sylancom 700 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
95, 8fssresd 6028 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ)
10 ismet2 22048 . 2 ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅) ↔ ((𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (∞Met‘𝑅) ∧ (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)):(𝑅 × 𝑅)⟶ℝ))
113, 9, 10sylanbrc 697 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑅𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑅 × 𝑅)) ∈ (Met‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wss 3555   × cxp 5072  cres 5076  wf 5843  cfv 5847  cr 9879  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-mulcl 9942  ax-i2m1 9948
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-xadd 11891  df-xmet 19658  df-met 19659
This theorem is referenced by:  metres  22080  xpsmet  22097  tmsms  22202  imasf1oms  22205  prdsms  22246  remet  22501  lebnumii  22673  cmetss  23021  sstotbnd2  33202  bndss  33214  equivbnd2  33220  rrnheibor  33265  iccbnd  33268
  Copyright terms: Public domain W3C validator