Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metrtri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metrtri 22075
 Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
metrtri ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem metrtri
StepHypRef Expression
1 metcl 22050 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ)
213adant3r2 1272 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ)
3 metcl 22050 . . . 4 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ)
433adant3r1 1271 . . 3 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ)
5 eqid 2621 . . . 4 (dist‘ℝ*𝑠) = (dist‘ℝ*𝑠)
65xrsdsreval 19713 . . 3 (((𝐴𝐷𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐷𝐶) ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝐶)(dist‘ℝ*𝑠)(𝐵𝐷𝐶)) = (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))))
72, 4, 6syl2anc 692 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)(dist‘ℝ*𝑠)(𝐵𝐷𝐶)) = (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))))
8 metxmet 22052 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
95xmetrtri2 22074 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)(dist‘ℝ*𝑠)(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
108, 9sylan 488 . 2 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝐷𝐶)(dist‘ℝ*𝑠)(𝐵𝐷𝐶)) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
117, 10eqbrtrrd 4639 1 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4615  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℝcr 9882   ≤ cle 10022   − cmin 10213  abscabs 13911  distcds 15874  ℝ*𝑠cxrs 16084  ∞Metcxmt 19653  Metcme 19654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-fz 12272  df-seq 12745  df-exp 12804  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-xrs 16086  df-xmet 19661  df-met 19662 This theorem is referenced by:  msrtri  22190
 Copyright terms: Public domain W3C validator