MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metss2 22227
Description: If the metric 𝐷 is "strongly finer" than 𝐶 (meaning that there is a positive real constant 𝑅 such that 𝐶(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑅 · 𝐷(𝑥, 𝑦)), then 𝐷 generates a finer topology. (Using this theorem twice in each direction states that if two metrics are strongly equivalent, then they generate the same topology.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
metss2.1 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
metss2.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
metss2.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
Assertion
Ref Expression
metss2 (𝜑𝐽𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem metss2
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
2 metss2.3 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3 rpdivcl 11800 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anr 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+)
5 metequiv.3 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
6 metequiv.4 . . . . 5 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
7 metss2.1 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (Met‘𝑋))
8 metss2.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
9 metss2.4 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥𝐶𝑦) ≤ (𝑅 · (𝑥𝐷𝑦)))
105, 6, 7, 8, 2, 9metss2lem 22226 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
11 oveq2 6612 . . . . . 6 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)))
1211sseq1d 3611 . . . . 5 (𝑠 = (𝑟 / 𝑅) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ↔ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
1312rspcev 3295 . . . 4 (((𝑟 / 𝑅) ∈ ℝ+ ∧ (𝑥(ball‘𝐷)(𝑟 / 𝑅)) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
144, 10, 13syl2anc 692 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
1514ralrimivva 2965 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
16 metxmet 22049 . . . 4 (𝐶 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
177, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
18 metxmet 22049 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
198, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
205, 6metss 22223 . . 3 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽𝐾 ↔ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
2117, 19, 20syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐽𝐾 ↔ ∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟)))
2215, 21mpbird 247 1 (𝜑𝐽𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604   · cmul 9885  cle 10019   / cdiv 10628  +crp 11776  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651  ballcbl 19652  MetOpencmopn 19655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-bases 20622
This theorem is referenced by:  equivcmet  23022
  Copyright terms: Public domain W3C validator