MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 22272
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustel 22265 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4 cnvimass 5444 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ dom 𝐷
5 psmetf 22021 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
6 fdm 6008 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
87adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
94, 8syl5sseq 3632 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
103, 9eqsstrd 3618 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1110ex 450 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1211rexlimdvw 3027 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
132, 12sylbid 230 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1413ralrimiv 2959 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
15 pwssb 4578 . . . 4 (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1614, 15sylibr 224 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1716adantl 482 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
18 cnvexg 7059 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
19 imaexg 7050 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V)
20 elisset 3201 . . . . . . 7 ((𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)))
21 1rp 11780 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
22 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → (0[,)𝑎) = (0[,)1))
2322imaeq2d 5425 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)1)))
2423eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ↔ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))))
2524rspcev 3295 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2621, 25mpan 705 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2726eximi 1759 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2818, 19, 20, 274syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
292exbidv 1847 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹 ↔ ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3028, 29mpbird 247 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
3130adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
32 n0 3907 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
3331, 32sylibr 224 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ≠ ∅)
341metustid 22269 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
3534adantll 749 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
36 n0 3907 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝑋)
3736biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑝 𝑝𝑋)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑝 𝑝𝑋)
39 opelresi 5367 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑋 → (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑝𝑋))
4039ibir 257 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑋 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
41 ne0i 3897 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4342exlimiv 1855 . . . . . . . 8 (∃𝑝 𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4438, 43syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
46 ssn0 3948 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4735, 45, 46syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ≠ ∅)
4847nelrdva 3399 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
49 df-nel 2894 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
5048, 49sylibr 224 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝐹)
51 df-ss 3569 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑥)
5251biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → (𝑥𝑦) = 𝑥)
5352adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 𝑥)
54 simplrl 799 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐹)
5553, 54eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
56 sseqin2 3795 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
5756biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
5857adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
59 simplrr 800 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐹)
6058, 59eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
61 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
62 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑥𝐹)
63 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑦𝐹)
641metustto 22268 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6561, 62, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6655, 60, 65mpjaodan 826 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
67 vex 3189 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
6867inex1 4759 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦) ∈ V
6968pwid 4145 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦)
7069a1i 11 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝒫 (𝑥𝑦))
7170elpwid 4141 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦))
72 sseq1 3605 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
7372rspcev 3295 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7466, 71, 73syl2anc 692 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7574ralrimivva 2965 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
7633, 50, 753jca 1240 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
77 elfvex 6178 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7877adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
79 xpexg 6913 . . . 4 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
8078, 78, 79syl2anc 692 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
81 isfbas2 21549 . . 3 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
8280, 81syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
8317, 76, 82mpbir2and 956 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  cop 4154  cmpt 4673   I cid 4984   × cxp 5072  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  cres 5076  cima 5077  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  *cxr 10017  +crp 11776  [,)cico 12119  PsMetcpsmet 19649  fBascfbas 19653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-rp 11777  df-ico 12123  df-psmet 19657  df-fbas 19662
This theorem is referenced by:  metust  22273  cfilucfil  22274  metuel  22279  psmetutop  22282  restmetu  22285  metucn  22286
  Copyright terms: Public domain W3C validator