MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustfbas 23096
Description: The filter base generated by a metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustfbas ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustfbas
Dummy variables 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
21metustel 23089 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
3 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4 cnvimass 5943 . . . . . . . . . 10 (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ dom 𝐷
5 psmetf 22845 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
65fdmd 6517 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
84, 7sseqtrid 4018 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
93, 8eqsstrd 4004 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
109ex 413 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1110rexlimdvw 3290 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)) → 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
122, 11sylbid 241 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝑥𝐹𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1312ralrimiv 3181 . . . 4 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
14 pwssb 5015 . . . 4 (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ↔ ∀𝑥𝐹 𝑥 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1513, 14sylibr 235 . . 3 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
1615adantl 482 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋))
17 cnvexg 7617 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ V)
18 imaexg 7608 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ V → (𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V)
19 elisset 3506 . . . . . . 7 ((𝐷 “ (0[,)1)) ∈ V → ∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)))
20 1rp 12383 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
21 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (0[,)𝑎) = (0[,)1))
2221imaeq2d 5923 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (𝐷 “ (0[,)𝑎)) = (𝐷 “ (0[,)1)))
2322rspceeqv 3637 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1))) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2420, 23mpan 686 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2524eximi 1826 . . . . . . 7 (∃𝑥 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)1)) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
2617, 18, 19, 254syl 19 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
272exbidv 1913 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (∃𝑥 𝑥𝐹 ↔ ∃𝑥𝑎 ∈ ℝ+ 𝑥 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
2826, 27mpbird 258 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
2928adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑥 𝑥𝐹)
30 n0 4309 . . . 4 (𝐹 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐹)
3129, 30sylibr 235 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ≠ ∅)
321metustid 23093 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
3332adantll 710 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥)
34 n0 4309 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝𝑋)
3534biimpi 217 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ → ∃𝑝 𝑝𝑋)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∃𝑝 𝑝𝑋)
37 opelidres 5859 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑋 → (⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ 𝑝𝑋))
3837ibir 269 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑋 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
3938ne0d 4300 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4039exlimiv 1922 . . . . . . . 8 (∃𝑝 𝑝𝑋 → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4136, 40syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
4241adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅)
43 ssn0 4353 . . . . . 6 ((( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝑥 ∧ ( I ↾ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
4433, 42, 43syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ 𝑥𝐹) → 𝑥 ≠ ∅)
4544nelrdva 3695 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ¬ ∅ ∈ 𝐹)
46 df-nel 3124 . . . 4 (∅ ∉ 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ 𝐹)
4745, 46sylibr 235 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∅ ∉ 𝐹)
48 df-ss 3951 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑥)
4948biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝑥𝑦 → (𝑥𝑦) = 𝑥)
5049adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) = 𝑥)
51 simplrl 773 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐹)
5250, 51eqeltrd 2913 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
53 sseqin2 4191 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑥 ↔ (𝑥𝑦) = 𝑦)
5453biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝑦𝑥 → (𝑥𝑦) = 𝑦)
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) = 𝑦)
56 simplrr 774 . . . . . . 7 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐹)
5755, 56eqeltrd 2913 . . . . . 6 ((((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
58 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
59 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑥𝐹)
60 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → 𝑦𝐹)
611metustto 23092 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝑦𝐹) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6258, 59, 60, 61syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦𝑦𝑥))
6352, 57, 62mpjaodan 952 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐹)
64 ssidd 3989 . . . . 5 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦))
65 sseq1 3991 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑥𝑦) → (𝑧 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)))
6665rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑥𝑦) ∈ 𝐹 ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑥𝑦)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6763, 64, 66syl2anc 584 . . . 4 (((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → ∃𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6867ralrimivva 3191 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦))
6931, 47, 683jca 1120 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))
70 elfvex 6697 . . . . 5 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7170adantl 482 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
7271, 71xpexd 7462 . . 3 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝑋 × 𝑋) ∈ V)
73 isfbas2 22373 . . 3 ((𝑋 × 𝑋) ∈ V → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)) ↔ (𝐹 ⊆ 𝒫 (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝐹 ≠ ∅ ∧ ∅ ∉ 𝐹 ∧ ∀𝑥𝐹𝑦𝐹𝑧𝐹 𝑧 ⊆ (𝑥𝑦)))))
7516, 69, 74mpbir2and 709 1 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → 𝐹 ∈ (fBas‘(𝑋 × 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3016  wnel 3123  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3495  cin 3934  wss 3935  c0 4290  𝒫 cpw 4537  cop 4565  cmpt 5138   I cid 5453   × cxp 5547  ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550  cres 5551  cima 5552  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cc0 10526  1c1 10527  *cxr 10663  +crp 12379  [,)cico 12730  PsMetcpsmet 20459  fBascfbas 20463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-rp 12380  df-ico 12734  df-psmet 20467  df-fbas 20472
This theorem is referenced by:  metust  23097  cfilucfil  23098  metuel  23103  psmetutop  23106  restmetu  23109  metucn  23110
  Copyright terms: Public domain W3C validator