Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustid 22449
 Description: The identity diagonal is included in all elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
Assertion
Ref Expression
metustid ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎   𝑋,𝑎   𝐴,𝑎   𝐹,𝑎

Proof of Theorem metustid
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5504 . . 3 Rel ( I ↾ 𝑋)
21a1i 11 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → Rel ( I ↾ 𝑋))
3 vex 3275 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑞 ∈ V
43brres 5480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I ↾ 𝑋)𝑞 ↔ (𝑝 I 𝑞𝑝𝑋))
5 df-br 4729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I ↾ 𝑋)𝑞 ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋))
63ideq 5350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 I 𝑞𝑝 = 𝑞)
76anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 I 𝑞𝑝𝑋) ↔ (𝑝 = 𝑞𝑝𝑋))
84, 5, 73bitr3i 290 . . . . . . . . . . . . 13 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) ↔ (𝑝 = 𝑞𝑝𝑋))
98biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → (𝑝 = 𝑞𝑝𝑋))
109ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑝 = 𝑞𝑝𝑋))
1110simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑝 = 𝑞)
12 df-ov 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑝⟩)
13 opeq2 4478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑞 → ⟨𝑝, 𝑝⟩ = ⟨𝑝, 𝑞⟩)
1413fveq2d 6276 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑞 → (𝐷‘⟨𝑝, 𝑝⟩) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
1512, 14syl5eq 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑝𝐷𝑝) = (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩))
17 simplll 815 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
1810simprd 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑝𝑋)
19 psmet0 22203 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑝𝑋) → (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2116, 20eqtr3d 2728 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) = 0)
22 0xr 10167 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ*)
24 rpxr 11922 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ*)
25 rpgt0 11926 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑎)
26 lbico1 12310 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑎 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑎) → 0 ∈ (0[,)𝑎))
2723, 24, 25, 26syl3anc 1407 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ+ → 0 ∈ (0[,)𝑎))
2827adantl 473 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 0 ∈ (0[,)𝑎))
2921, 28eqeltrd 2771 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎))
30 psmetf 22201 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
31 ffun 6129 . . . . . . . . . 10 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → Fun 𝐷)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → Fun 𝐷)
3332ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → Fun 𝐷)
3411, 18eqeltrrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑞𝑋)
35 opelxpi 5225 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝑋𝑞𝑋) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
3618, 34, 35syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝑋 × 𝑋))
37 fdm 6132 . . . . . . . . . . 11 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3830, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
3938ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
4036, 39eleqtrrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷)
41 fvimacnv 6415 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ dom 𝐷) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
4233, 40, 41syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝐷‘⟨𝑝, 𝑞⟩) ∈ (0[,)𝑎) ↔ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
4329, 42mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4443adantr 472 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
45 simpr 479 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4644, 45eleqtrrd 2774 . . . 4 (((((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
47 simplr 809 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → 𝐴𝐹)
48 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
4948metustel 22445 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
5049ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → (𝐴𝐹 ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎))))
5147, 50mpbid 222 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ 𝐴 = (𝐷 “ (0[,)𝑎)))
5246, 51r19.29a 3148 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋)) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴)
5352ex 449 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ ( I ↾ 𝑋) → ⟨𝑝, 𝑞⟩ ∈ 𝐴))
542, 53relssdv 5289 1 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ( I ↾ 𝑋) ⊆ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1564   ∈ wcel 2071  ∃wrex 2983   ⊆ wss 3648  ⟨cop 4259   class class class wbr 4728   ↦ cmpt 4805   I cid 5095   × cxp 5184  ◡ccnv 5185  dom cdm 5186  ran crn 5187   ↾ cres 5188   “ cima 5189  Rel wrel 5191  Fun wfun 5963  ⟶wf 5965  ‘cfv 5969  (class class class)co 6733  0cc0 10017  ℝ*cxr 10154   < clt 10155  ℝ+crp 11914  [,)cico 12259  PsMetcpsmet 19821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-er 7830  df-map 7944  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-rp 11915  df-ico 12263  df-psmet 19829 This theorem is referenced by:  metustfbas  22452  metust  22453
 Copyright terms: Public domain W3C validator