Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mexval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mexval2 31161
 Description: The set of expressions, which are pairs whose first element is a typecode, and whose second element is a list of constants and variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mexval.k 𝐾 = (mTC‘𝑇)
mexval.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mexval2.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mexval2.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mexval2 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶𝑉))

Proof of Theorem mexval2
StepHypRef Expression
1 mexval.k . . . 4 𝐾 = (mTC‘𝑇)
2 mexval.e . . . 4 𝐸 = (mEx‘𝑇)
3 eqid 2621 . . . 4 (mREx‘𝑇) = (mREx‘𝑇)
41, 2, 3mexval 31160 . . 3 𝐸 = (𝐾 × (mREx‘𝑇))
5 mexval2.c . . . . 5 𝐶 = (mCN‘𝑇)
6 mexval2.v . . . . 5 𝑉 = (mVR‘𝑇)
75, 6, 3mrexval 31159 . . . 4 (𝑇 ∈ V → (mREx‘𝑇) = Word (𝐶𝑉))
87xpeq2d 5109 . . 3 (𝑇 ∈ V → (𝐾 × (mREx‘𝑇)) = (𝐾 × Word (𝐶𝑉)))
94, 8syl5eq 2667 . 2 (𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶𝑉)))
10 0xp 5170 . . . 4 (∅ × Word (𝐶𝑉)) = ∅
1110eqcomi 2630 . . 3 ∅ = (∅ × Word (𝐶𝑉))
12 fvprc 6152 . . . 4 𝑇 ∈ V → (mEx‘𝑇) = ∅)
132, 12syl5eq 2667 . . 3 𝑇 ∈ V → 𝐸 = ∅)
14 fvprc 6152 . . . . 5 𝑇 ∈ V → (mTC‘𝑇) = ∅)
151, 14syl5eq 2667 . . . 4 𝑇 ∈ V → 𝐾 = ∅)
1615xpeq1d 5108 . . 3 𝑇 ∈ V → (𝐾 × Word (𝐶𝑉)) = (∅ × Word (𝐶𝑉)))
1711, 13, 163eqtr4a 2681 . 2 𝑇 ∈ V → 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶𝑉)))
189, 17pm2.61i 176 1 𝐸 = (𝐾 × Word (𝐶𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3190   ∪ cun 3558  ∅c0 3897   × cxp 5082  ‘cfv 5857  Word cword 13246  mCNcmcn 31118  mVRcmvar 31119  mTCcmtc 31122  mRExcmrex 31124  mExcmex 31125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-hash 13074  df-word 13254  df-mrex 31144  df-mex 31145 This theorem is referenced by:  mvrsfpw  31164
 Copyright terms: Public domain W3C validator