MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgm2nsgrplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgm2nsgrplem1 17386
Description: Lemma 1 for mgm2nsgrp 17390: 𝑀 is a magma, even if 𝐴 = 𝐵 (𝑀 is the trivial magma in this case, see mgmb1mgm1 17235). (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
mgm2nsgrp.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mgm2nsgrplem1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mgm2nsgrplem1
StepHypRef Expression
1 prid1g 4286 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
2 mgm2nsgrp.s . . 3 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
31, 2syl6eleqr 2710 . 2 (𝐴𝑉𝐴𝑆)
4 prid2g 4287 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
54, 2syl6eleqr 2710 . 2 (𝐵𝑊𝐵𝑆)
6 mgm2nsgrp.b . . . 4 (Base‘𝑀) = 𝑆
76eqcomi 2629 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑀)
8 mgm2nsgrp.o . . 3 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
9 ne0i 3913 . . . 4 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
109adantr 481 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝑆 ≠ ∅)
11 simplr 791 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐵𝑆)
12 simpll 789 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → 𝐴𝑆)
137, 8, 10, 11, 12opifismgm 17239 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝑀 ∈ Mgm)
143, 5, 13syl2an 494 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝑀 ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  c0 3907  ifcif 4077  {cpr 4170  cfv 5876  cmpt2 6637  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Mgmcmgm 17221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-mgm 17223
This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  17390  mgmnsgrpex  17399
  Copyright terms: Public domain W3C validator