MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgm2nsgrplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgm2nsgrplem4 18024
Description: Lemma 4 for mgm2nsgrp 18025: M is not a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mgm2nsgrp.s 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
mgm2nsgrp.b (Base‘𝑀) = 𝑆
mgm2nsgrp.o (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mgm2nsgrplem4 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem mgm2nsgrplem4
StepHypRef Expression
1 mgm2nsgrp.s . . . 4 𝑆 = {𝐴, 𝐵}
21hashprdifel 13747 . . 3 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵))
3 simp1 1128 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝑆)
4 simp2 1129 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐵𝑆)
53, 3, 43jca 1120 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
62, 5syl 17 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → (𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
7 simp3 1130 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
8 mgm2nsgrp.b . . . . . 6 (Base‘𝑀) = 𝑆
9 mgm2nsgrp.o . . . . . 6 (+g𝑀) = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆 ↦ if((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐴), 𝐵, 𝐴))
10 eqid 2818 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
111, 8, 9, 10mgm2nsgrplem2 18022 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
12113adant3 1124 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) = 𝐴)
131, 8, 9, 10mgm2nsgrplem3 18023 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
14133adant3 1124 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) = 𝐵)
157, 12, 143netr4d 3090 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐴𝐵) → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
162, 15syl 17 . 2 ((♯‘𝑆) = 2 → ((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)))
178eqcomi 2827 . . 3 𝑆 = (Base‘𝑀)
1817, 10isnsgrp 17893 . 2 ((𝐴𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆) → (((𝐴(+g𝑀)𝐴)(+g𝑀)𝐵) ≠ (𝐴(+g𝑀)(𝐴(+g𝑀)𝐵)) → 𝑀 ∉ Smgrp))
196, 16, 18sylc 65 1 ((♯‘𝑆) = 2 → 𝑀 ∉ Smgrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wnel 3120  ifcif 4463  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  2c2 11680  chash 13678  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Smgrpcsgrp 17888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-hash 13679  df-sgrp 17889
This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  18025  mgmnsgrpex  18034
  Copyright terms: Public domain W3C validator