MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgmnsgrpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgmnsgrpex 17615
Description: There is a magma which is not a semigroup. (Contributed by AV, 29-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
mgmnsgrpex 𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ SGrp

Proof of Theorem mgmnsgrpex
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prhash2ex 13375 . 2 (♯‘{0, 1}) = 2
2 c0ex 10222 . . . . 5 0 ∈ V
3 1ex 10223 . . . . 5 1 ∈ V
42, 3pm3.2i 470 . . . 4 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
5 eqid 2756 . . . . 5 {0, 1} = {0, 1}
6 prex 5054 . . . . . . 7 {0, 1} ∈ V
7 eqeq1 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑢 = 0))
87anbi1d 743 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → ((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0)))
98ifbid 4248 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))
10 eqeq1 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑣 → (𝑦 = 0 ↔ 𝑣 = 0))
1110anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑣 → ((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0) ↔ (𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0)))
1211ifbid 4248 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 → if((𝑢 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0) = if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
139, 12cbvmpt2v 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0)) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
1413opeq2i 4553 . . . . . . . . 9 ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩ = ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩
1514preq2i 4412 . . . . . . . 8 {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))⟩}
1615grpbase 16189 . . . . . . 7 ({0, 1} ∈ V → {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
176, 16ax-mp 5 . . . . . 6 {0, 1} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
1817eqcomi 2765 . . . . 5 (Base‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = {0, 1}
196, 6mpt2ex 7411 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V
2015grpplusg 16190 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) ∈ V → (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩})
2221eqcomi 2765 . . . . 5 (+g‘{⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) = (𝑢 ∈ {0, 1}, 𝑣 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑢 = 0 ∧ 𝑣 = 0), 1, 0))
235, 18, 22mgm2nsgrplem1 17602 . . . 4 ((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
244, 23mp1i 13 . . 3 ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∈ Mgm)
25 neleq1 3036 . . . 4 (𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} → (𝑚 ∉ SGrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ SGrp))
2625adantl 473 . . 3 (((♯‘{0, 1}) = 2 ∧ 𝑚 = {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩}) → (𝑚 ∉ SGrp ↔ {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ SGrp))
275, 18, 22mgm2nsgrplem4 17605 . . 3 ((♯‘{0, 1}) = 2 → {⟨(Base‘ndx), {0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ {0, 1}, 𝑦 ∈ {0, 1} ↦ if((𝑥 = 0 ∧ 𝑦 = 0), 1, 0))⟩} ∉ SGrp)
2824, 26, 27rspcedvd 3452 . 2 ((♯‘{0, 1}) = 2 → ∃𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ SGrp)
291, 28ax-mp 5 1 𝑚 ∈ Mgm 𝑚 ∉ SGrp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1628  wcel 2135  wnel 3031  wrex 3047  Vcvv 3336  ifcif 4226  {cpr 4319  cop 4323  cfv 6045  cmpt2 6811  0cc0 10124  1c1 10125  2c2 11258  chash 13307  ndxcnx 16052  Basecbs 16055  +gcplusg 16139  Mgmcmgm 17437  SGrpcsgrp 17480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-fz 12516  df-hash 13308  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-plusg 16152  df-mgm 17439  df-sgrp 17481
This theorem is referenced by:  sgrpssmgm  17617
  Copyright terms: Public domain W3C validator