Theorem mgpplusg 18414

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2		fvex 6158	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2694	. . . 4 ⊢ · ∈ V
4		plusgid 15898	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
5	4	setsid 15835	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6	3, 5	mpan2 706	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
7		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7, 1	mgpval 18413	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
9	8	fveq2i 6151	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
10	6, 9	syl6eqr 2673	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
11	4	str0 15832	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
12		fvprc 6142	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
13	1, 12	syl5eq 2667	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
14		fvprc 6142	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
15	7, 14	syl5eq 2667	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
16	15	fveq2d 6152	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
17	11, 13, 16	3eqtr4a 2681	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
18	10, 17	pm2.61i 176	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ∅c0 3891  ⟨cop 4154  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  +_gcplusg 15862  ._rcmulr 15863  mulGrpcmgp 18410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mgp 18411

This theorem is referenced by:  dfur2  18425  srgcl  18433  srgass  18434  srgideu  18435  srgidmlem  18441  issrgid  18444  srg1zr  18450  srgpcomp  18453  srgpcompp  18454  srgbinomlem4  18464  srgbinomlem  18465  csrgbinom  18467  ringcl  18482  crngcom  18483  iscrng2  18484  ringass  18485  ringideu  18486  ringidmlem  18491  isringid  18494  ringidss  18498  ringpropd  18503  crngpropd  18504  isringd  18506  iscrngd  18507  ring1  18523  gsummgp0  18529  prdsmgp  18531  oppr1  18555  unitgrp  18588  unitlinv  18598  unitrinv  18599  rngidpropd  18616  invrpropd  18619  dfrhm2  18638  rhmmul  18648  isrhm2d  18649  isdrng2  18678  drngmcl  18681  drngid2  18684  isdrngd  18693  subrgugrp  18720  issubrg3  18729  cntzsubr  18733  rhmpropd  18736  rlmscaf  19127  sraassa  19244  assamulgscmlem2  19268  psrcrng  19332  mplcoe3  19385  mplcoe5lem  19386  mplcoe5  19387  mplcoe2  19388  mplbas2  19389  evlslem1  19434  mpfind  19455  coe1tm  19562  ply1coe  19585  xrsmcmn  19688  cnfldexp  19698  cnmsubglem  19728  expmhm  19734  nn0srg  19735  rge0srg  19736  expghm  19763  psgnghm  19845  psgnco  19848  evpmodpmf1o  19861  ringvcl  20123  mamuvs2  20131  mat1mhm  20209  scmatmhm  20259  mdetdiaglem  20323  mdetrlin  20327  mdetrsca  20328  mdetralt  20333  mdetunilem7  20343  mdetuni0  20346  m2detleib  20356  invrvald  20401  mat2pmatmhm  20457  pm2mpmhm  20544  chfacfpmmulgsum2  20589  cpmadugsumlemB  20598  cnmpt1mulr  21895  cnmpt2mulr  21896  reefgim  24108  efabl  24200  efsubm  24201  amgm  24617  wilthlem2  24695  wilthlem3  24696  dchrelbas3  24863  dchrzrhmul  24871  dchrmulcl  24874  dchrn0  24875  dchrinvcl  24878  dchrptlem2  24890  dchrsum2  24893  sum2dchr  24899  lgseisenlem3  25002  lgseisenlem4  25003  rdivmuldivd  29573  ringinvval  29574  dvrcan5  29575  rhmunitinv  29604  iistmd  29727  xrge0iifmhm  29764  xrge0pluscn  29765  pl1cn  29780  cntzsdrg  37250  isdomn3  37260  mon1psubm  37262  deg1mhm  37263  amgm2d  37980  amgm3d  37981  amgm4d  37982  isringrng  41166  rngcl  41168  isrnghmmul  41178  lidlmmgm  41210  lidlmsgrp  41211  2zrngmmgm  41231  2zrngmsgrp  41232  2zrngnring  41237  cznrng  41240  cznnring  41241  mgpsumunsn  41425  invginvrid  41433  amgmlemALT  41849  amgmw2d  41850