Theorem mgpplusg 19237

Description: Value of the group operation of the multiplication group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpval.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpval.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpplusg	⊢ · = (+g‘𝑀)

Proof of Theorem mgpplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpval.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
2	1	fvexi 6678	. . . 4 ⊢ · ∈ V
3		plusgid 16590	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
4	3	setsid 16532	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ · ∈ V) → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
5	2, 4	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)))
6		mgpval.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
7	6, 1	mgpval 19236	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩)
8	7	fveq2i 6667	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), · ⟩))
9	5, 8	syl6eqr 2874	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
10	3	str0 16529	. . 3 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
11		fvprc 6657	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (.r‘𝑅) = ∅)
12	1, 11	syl5eq 2868	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = ∅)
13		fvprc 6657	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (mulGrp‘𝑅) = ∅)
14	6, 13	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑀 = ∅)
15	14	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘𝑀) = (+g‘∅))
16	10, 12, 15	3eqtr4a 2882	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → · = (+g‘𝑀))
17	9, 16	pm2.61i 184	1 ⊢ · = (+g‘𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ∅c0 4290  ⟨cop 4566  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  mulGrpcmgp 19233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633  df-2 11694  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mgp 19234

This theorem is referenced by:  dfur2  19248  srgcl  19256  srgass  19257  srgideu  19258  srgidmlem  19264  issrgid  19267  srg1zr  19273  srgpcomp  19276  srgpcompp  19277  srgbinomlem4  19287  srgbinomlem  19288  csrgbinom  19290  ringcl  19305  crngcom  19306  iscrng2  19307  ringass  19308  ringideu  19309  ringidmlem  19314  isringid  19317  ringidss  19321  ringpropd  19326  crngpropd  19327  isringd  19329  iscrngd  19330  ring1  19346  gsummgp0  19352  prdsmgp  19354  oppr1  19378  unitgrp  19411  unitlinv  19421  unitrinv  19422  rngidpropd  19439  invrpropd  19442  dfrhm2  19463  rhmmul  19473  isrhm2d  19474  isdrng2  19506  drngmcl  19509  drngid2  19512  isdrngd  19521  subrgugrp  19548  issubrg3  19557  cntzsubr  19562  rhmpropd  19565  cntzsdrg  19575  primefld  19578  rlmscaf  19975  sraassa  20093  assamulgscmlem2  20123  psrcrng  20187  mplcoe3  20241  mplcoe5lem  20242  mplcoe5  20243  mplcoe2  20244  mplbas2  20245  evlslem1  20289  mpfind  20314  coe1tm  20435  ply1coe  20458  xrsmcmn  20562  cnfldexp  20572  cnmsubglem  20602  expmhm  20608  nn0srg  20609  rge0srg  20610  expghm  20637  psgnghm  20718  psgnco  20721  evpmodpmf1o  20734  ringvcl  21003  mamuvs2  21009  mat1mhm  21087  scmatmhm  21137  mdetdiaglem  21201  mdetrlin  21205  mdetrsca  21206  mdetralt  21211  mdetunilem7  21221  mdetuni0  21224  m2detleib  21234  invrvald  21279  mat2pmatmhm  21335  pm2mpmhm  21422  chfacfpmmulgsum2  21467  cpmadugsumlemB  21476  cnmpt1mulr  22784  cnmpt2mulr  22785  reefgim  25032  efabl  25128  efsubm  25129  amgm  25562  wilthlem2  25640  wilthlem3  25641  dchrelbas3  25808  dchrzrhmul  25816  dchrmulcl  25819  dchrn0  25820  dchrinvcl  25823  dchrptlem2  25835  dchrsum2  25838  sum2dchr  25844  lgseisenlem3  25947  lgseisenlem4  25948  rdivmuldivd  30857  ringinvval  30858  dvrcan5  30859  rhmunitinv  30890  elringlsm  30941  lsmsnpridl  30943  cringm4  30957  mxidlprm  30972  iistmd  31140  xrge0iifmhm  31177  xrge0pluscn  31178  pl1cn  31193  isdomn3  39797  mon1psubm  39799  deg1mhm  39800  amgm2d  40544  amgm3d  40545  amgm4d  40546  isringrng  44146  rngcl  44148  isrnghmmul  44158  lidlmmgm  44190  lidlmsgrp  44191  2zrngmmgm  44211  2zrngmsgrp  44212  2zrngnring  44217  cznrng  44220  cznnring  44221  mgpsumunsn  44403  invginvrid  44409  amgmlemALT  44898  amgmw2d  44899