MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgpress Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpress 18621
Description: Subgroup commutes with the multiplication group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpress.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
mgpress.2 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
mgpress ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress
StepHypRef Expression
1 mgpress.2 . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 simpr 479 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
3 fvex 6314 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) ∈ V
41, 3eqeltri 2799 . . . . 5 𝑀 ∈ V
54a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
6 simplr 809 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
7 eqid 2724 . . . . 5 (𝑀s 𝐴) = (𝑀s 𝐴)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
91, 8mgpbas 18616 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
107, 9ressid2 16051 . . . 4 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
112, 5, 6, 10syl3anc 1439 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = 𝑀)
12 simpll 807 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
13 mgpress.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
1413, 8ressid2 16051 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = 𝑅)
152, 12, 6, 14syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = 𝑅)
1615fveq2d 6308 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑅))
171, 11, 163eqtr4a 2784 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
18 eqid 2724 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
191, 18mgpval 18613 . . . 4 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
2019oveq1i 6775 . . 3 (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩)
21 simpr 479 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴)
224a1i 11 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑀 ∈ V)
23 simplr 809 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝐴𝑊)
247, 9ressval2 16052 . . . 4 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑀 ∈ V ∧ 𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1439 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
26 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
27 eqid 2724 . . . . . 6 (.r𝑆) = (.r𝑆)
2826, 27mgpval 18613 . . . . 5 (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩)
29 simpll 807 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑅𝑉)
3013, 8ressval2 16052 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴𝑅𝑉𝐴𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3121, 29, 23, 30syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
3213, 18ressmulr 16129 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑊 → (.r𝑅) = (.r𝑆))
3332eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝐴𝑊 → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3433ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (.r𝑆) = (.r𝑅))
3534opeq2d 4516 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
3631, 35oveq12d 6783 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
3728, 36syl5eq 2770 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
38 1ne2 11353 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3938necomi 2950 . . . . . 6 2 ≠ 1
40 plusgndx 16099 . . . . . . 7 (+g‘ndx) = 2
41 basendx 16046 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
4240, 41neeq12i 2962 . . . . . 6 ((+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx) ↔ 2 ≠ 1)
4339, 42mpbir 221 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
44 fvex 6314 . . . . . 6 (.r𝑅) ∈ V
45 fvex 6314 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
4645inex2 4908 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V
47 fvex 6314 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ∈ V
48 fvex 6314 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ∈ V
4947, 48setscom 16026 . . . . . 6 (((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) ∧ ((.r𝑅) ∈ V ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5044, 46, 49mpanr12 723 . . . . 5 ((𝑅𝑉 ∧ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5129, 43, 50sylancl 697 . . . 4 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
5237, 51eqtr4d 2761 . . 3 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
5320, 25, 523eqtr4a 2784 . 2 (((𝑅𝑉𝐴𝑊) ∧ ¬ (Base‘𝑅) ⊆ 𝐴) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
5417, 53pm2.61dan 867 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑊) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  cin 3679  wss 3680  cop 4291  cfv 6001  (class class class)co 6765  1c1 10050  2c2 11183  ndxcnx 15977   sSet csts 15978  Basecbs 15980  s cress 15981  +gcplusg 16064  .rcmulr 16065  mulGrpcmgp 18610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-mgp 18611
This theorem is referenced by:  subrgcrng  18907  subrgsubm  18916  resrhm  18932  nn0srg  19939  rge0srg  19940  zringmpg  19963  m2cpmmhm  20673  rdivmuldivd  30021  xrge0iifmhm  30215  xrge0pluscn  30216  xrge0tmd  30222
  Copyright terms: Public domain W3C validator