Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mgpsumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgpsumz 41383
Description: If the group sum for the multiplicative group of a unital ring contains a summand/factor that is the zero of the ring, the group sum itself is zero. (Contributed by AV, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpsumunsn.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgpsumunsn.t · = (.r𝑅)
mgpsumunsn.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mgpsumunsn.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mgpsumunsn.i (𝜑𝐼𝑁)
mgpsumunsn.a ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
mgpsumz.z 0 = (0g𝑅)
mgpsumz.0 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mgpsumz (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   · (𝑘)

Proof of Theorem mgpsumz
StepHypRef Expression
1 mgpsumunsn.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2 mgpsumunsn.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 mgpsumunsn.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
4 mgpsumunsn.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 mgpsumunsn.i . . 3 (𝜑𝐼𝑁)
6 mgpsumunsn.a . . 3 ((𝜑𝑘𝑁) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7 crngring 18474 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
8 ringmnd 18472 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
103, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
11 eqid 2626 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 mgpsumz.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1311, 12mndidcl 17224 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → 0 ∈ (Base‘𝑅))
1410, 13syl 17 . . 3 (𝜑0 ∈ (Base‘𝑅))
15 mgpsumz.0 . . 3 (𝑘 = 𝐼𝐴 = 0 )
161, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15mgpsumunsn 41382 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ))
173, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
181, 11mgpbas 18411 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
191crngmgp 18471 . . . . 5 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
203, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
21 diffi 8137 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
224, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∖ {𝐼}) ∈ Fin)
23 eldifi 3715 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) → 𝑘𝑁)
2423, 6sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2524ralrimiva 2965 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼})𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
2618, 20, 22, 25gsummptcl 18282 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅))
2711, 2, 12ringrz 18504 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2817, 26, 27syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑘 ∈ (𝑁 ∖ {𝐼}) ↦ 𝐴)) · 0 ) = 0 )
2916, 28eqtrd 2660 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑘𝑁𝐴)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cdif 3557  {csn 4153  cmpt 4678  cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  Basecbs 15776  .rcmulr 15858  0gc0g 16016   Σg cgsu 16017  Mndcmnd 17210  CMndccmn 18109  mulGrpcmgp 18405  Ringcrg 18463  CRingccrg 18464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-hash 13055  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-grp 17341  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ring 18465  df-cring 18466
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator