MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midf 25575
Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midf (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5 ismid.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 eqid 2621 . . . . . 6 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑎𝑃)
9 simprr 795 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑏𝑃)
10 ismid.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11mideu 25537 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
1312ralrimivva 2965 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14 riotacl 6582 . . . . . 6 (∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1514ralimi 2947 . . . . 5 (∀𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1615ralimi 2947 . . . 4 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1713, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
18 eqid 2621 . . . 4 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
1918fmpt2 7185 . . 3 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
2017, 19sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
21 df-mid 25573 . . . . 5 midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 → midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)))))
23 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
2423, 1syl6eqr 2673 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
25 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
2625fveq1d 6152 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
2726fveq1d 6152 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
2827eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
2924, 28riotaeqbidv 6571 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
3024, 24, 29mpt2eq123dv 6673 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
3130adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑔 = 𝐺) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
32 elex 3198 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
335, 32syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
34 fvex 6160 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) ∈ V
351, 34eqeltri 2694 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
3635, 35mpt2ex 7195 . . . . 5 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
3822, 31, 33, 37fvmptd 6247 . . 3 (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
3938feq1d 5989 . 2 (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
4020, 39mpbird 247 1 (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  ∃!wreu 2909  Vcvv 3186   class class class wbr 4615  cmpt 4675   × cxp 5074  wf 5845  cfv 5849  crio 6567  cmpt2 6609  2c2 11017  Basecbs 15784  distcds 15874  TarskiGcstrkg 25236  DimTarskiGcstrkgld 25240  Itvcitv 25242  LineGclng 25243  pInvGcmir 25454  midGcmid 25571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-xnn0 11311  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-hash 13061  df-word 13241  df-concat 13243  df-s1 13244  df-s2 13533  df-s3 13534  df-trkgc 25254  df-trkgb 25255  df-trkgcb 25256  df-trkgld 25258  df-trkg 25259  df-cgrg 25313  df-leg 25385  df-mir 25455  df-rag 25496  df-perpg 25498  df-mid 25573
This theorem is referenced by:  midcl  25576
  Copyright terms: Public domain W3C validator