Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minmar1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minmar1cl 20385
 Description: Closure of the row replacement function for square matrices: The matrix for a minor is a matrix. (Contributed by AV, 13-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
minmar1cl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
minmar1cl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
minmar1cl (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem minmar1cl
StepHypRef Expression
1 minmar1cl.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 minmar1cl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2621 . . . . 5 (𝑁 matRRep 𝑅) = (𝑁 matRRep 𝑅)
4 eqid 2621 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
51, 2, 3, 4minmar1marrep 20384 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
65adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → ((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀) = (𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅)))
76oveqd 6627 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) = (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿))
8 simpl 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
9 simpr 477 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀𝐵)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 4ringidcl 18496 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1211adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
138, 9, 123jca 1240 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)))
141, 2marrepcl 20298 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵 ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
1513, 14sylan 488 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)(1r𝑅))𝐿) ∈ 𝐵)
167, 15eqeltrd 2698 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝐾𝑁𝐿𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐿) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  1rcur 18429  Ringcrg 18475   Mat cmat 20141   matRRep cmarrep 20290   minMatR1 cminmar1 20367 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-ot 4162  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-sup 8299  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-fz 12276  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-hom 15894  df-cco 15895  df-0g 16030  df-prds 16036  df-pws 16038  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-sra 19100  df-rgmod 19101  df-dsmm 20004  df-frlm 20019  df-mat 20142  df-marrep 20292  df-minmar1 20369 This theorem is referenced by:  smadiadetg  20407  madjusmdetlem1  29693  madjusmdetlem4  29696
 Copyright terms: Public domain W3C validator