MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 23415
Description: Lemma for minvec 23427. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23193 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
54adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
6 cphlmod 23194 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
9 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
11 minvec.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑈)
13 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1412, 13lssss 19159 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1615sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
17 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1812, 17lmodvsubcl 19130 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
198, 10, 16, 18syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
20 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑈)
2112, 20nmcl 22641 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
225, 19, 21syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
23 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2422, 23fmptd 6549 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
25 frn 6214 . . . 4 ((𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
271, 26syl5eqss 3790 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2813lssn0 19163 . . . 4 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
2911, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
301eqeq1i 2765 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
31 dm0rn0 5497 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
32 fvex 6363 . . . . . . 7 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
3332, 23dmmpti 6184 . . . . . 6 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = 𝑌
3433eqeq1i 2765 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3530, 31, 343bitr2i 288 . . . 4 (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3635necon3bii 2984 . . 3 (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
3729, 36sylibr 224 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
3812, 20nmge0 22642 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
395, 19, 38syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4039ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4132rgenw 3062 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
42 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4323, 42ralrnmpt 6532 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4441, 43ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4540, 44sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
461raleqi 3281 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
4745, 46sylibr 224 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
4827, 37, 473jca 1123 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  cle 10287  Basecbs 16079  s cress 16080  TopOpenctopn 16304  -gcsg 17645  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  normcnm 22602  NrmGrpcngp 22603  ℂPreHilccph 23186  CMetSpccms 23349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-0g 16324  df-topgen 16326  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-xms 22346  df-ms 22347  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nlm 22612  df-cph 23188
This theorem is referenced by:  minveclem4c  23416  minveclem2  23417  minveclem3b  23419  minveclem4  23423  minveclem6  23425
  Copyright terms: Public domain W3C validator