MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem1 22866
Description: Lemma for minvec 22878. The set of all distances from points of 𝑌 to 𝐴 are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
minveclem1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,   𝑤,𝐴,𝑦   𝑤,𝐽,𝑦   𝑤,𝑁,𝑦   𝜑,𝑤,𝑦   𝑤,𝑅,𝑦   𝑤,𝑈,𝑦   𝑤,𝑋,𝑦   𝑤,𝑌,𝑦

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 22651 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
6 cphlmod 22652 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
72, 6syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
9 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
109adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
11 minvec.y . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12 minvec.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (Base‘𝑈)
13 eqid 2514 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1412, 13lssss 18662 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
1615sselda 3472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
17 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1812, 17lmodvsubcl 18635 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
198, 10, 16, 18syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
20 minvec.n . . . . . . 7 𝑁 = (norm‘𝑈)
2112, 20nmcl 22131 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
225, 19, 21syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
23 eqid 2514 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2422, 23fmptd 6176 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ)
25 frn 5851 . . . 4 ((𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))):𝑌⟶ℝ → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ⊆ ℝ)
271, 26syl5eqss 3516 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
2813lssn0 18666 . . . 4 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ≠ ∅)
2911, 28syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
301eqeq1i 2519 . . . . 5 (𝑅 = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
31 dm0rn0 5154 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅)
32 fvex 5997 . . . . . . 7 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
3332, 23dmmpti 5821 . . . . . 6 dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = 𝑌
3433eqeq1i 2519 . . . . 5 (dom (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3530, 31, 343bitr2i 286 . . . 4 (𝑅 = ∅ ↔ 𝑌 = ∅)
3635necon3bii 2738 . . 3 (𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝑌 ≠ ∅)
3729, 36sylibr 222 . 2 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
3812, 20nmge0 22132 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
395, 19, 38syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4039ralrimiva 2853 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4132rgenw 2812 . . . . 5 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
42 breq2 4485 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (0 ≤ 𝑤 ↔ 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4323, 42ralrnmpt 6160 . . . . 5 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
4441, 43ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
4540, 44sylibr 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
461raleqi 3023 . . 3 (∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))0 ≤ 𝑤)
4745, 46sylibr 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
4827, 37, 473jca 1234 1 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  Vcvv 3077  wss 3444  c0 3777   class class class wbr 4481  cmpt 4541  dom cdm 4932  ran crn 4933  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  cr 9690  0cc0 9691  cle 9830  Basecbs 15579  s cress 15580  TopOpenctopn 15789  -gcsg 17139  LModclmod 18593  LSubSpclss 18657  normcnm 22093  NrmGrpcngp 22094  ℂPreHilccph 22644  CMetSpccms 22800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-0g 15809  df-topgen 15811  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-lmod 18595  df-lss 18658  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-xms 21837  df-ms 21838  df-nm 22099  df-ngp 22100  df-nlm 22103  df-cph 22646
This theorem is referenced by:  minveclem4c  22867  minveclem2  22868  minveclem3b  22870  minveclem4  22874  minveclem6  22876  minveclem4cOLD  22879  minveclem2OLD  22880  minveclem3bOLD  22882  minveclem4OLD  22886  minveclem6OLD  22888
  Copyright terms: Public domain W3C validator