MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem2 23243
Description: Lemma for minvec 23253. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3 (𝜑𝐾𝑌)
minveclem2.4 (𝜑𝐿𝑌)
minveclem2.5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
Assertion
Ref Expression
minveclem2 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 11135 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
11 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 23242 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1312resqcld 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14 remulcl 10059 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
151, 13, 14sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16 cphngp 23019 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
18 ngpms 22451 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
20 minvec.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
212, 20msmet 22309 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
242, 23lssss 18985 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑌)
2725, 26sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿𝑌)
2925, 28sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑋)
30 metcl 22184 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3122, 27, 29, 30syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3231resqcld 13075 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
3315, 32readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34 cphlmod 23020 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 cphclm 23035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂMod)
38 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4038, 39clmzss 22924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4441, 43sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4738, 39cphreccl 23027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
485, 44, 46, 47syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5049, 23lssvacl 19002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾𝑌𝐿𝑌)) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5338, 52, 39, 23lssvscl 19003 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5525, 54sseldd 3637 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
562, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
5735, 8, 55, 56syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
582, 4nmcl 22467 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
5917, 57, 58syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6059resqcld 13075 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61 remulcl 10059 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
621, 60, 61sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
6362, 32readdcld 10107 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64 minveclem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6513, 64readdcld 10107 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66 remulcl 10059 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
671, 65, 66sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 23241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6968simp3d 1095 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
7068simp1d 1093 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
7168simp2d 1094 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
72 0re 10078 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
73 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
7473ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7574rspcev 3340 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7672, 69, 75sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 11045 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8069, 79mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 11syl6breqr 4727 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
83 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
8584eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
8685rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8754, 82, 86sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
88 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
89 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
9088, 89elrnmpti 5408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
9187, 90sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
9291, 10syl6eleqr 2741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
93 infrelb 11046 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9470, 76, 92, 93syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9511, 94syl5eqbr 4720 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
96 le2sq2 12979 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
98 4pos 11154 . . . . . . . . 9 0 < 4
991, 98pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
100 lemul2 10914 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10199, 100mp3an3 1453 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10213, 60, 101syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10397, 102mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
10415, 62, 32, 103leadd1dd 10679 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
105 metcl 22184 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10622, 8, 27, 105syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
107106resqcld 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
108 metcl 22184 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10922, 8, 29, 108syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
110109resqcld 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 10684 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
11465recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
1151142timesd 11313 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116113, 115breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
117107, 110readdcld 10107 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
118 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
119 remulcl 10059 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120118, 65, 119sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
121 2pos 11150 . . . . . . . . 9 0 < 2
122118, 121pm3.2i 470 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
123 lemul2 10914 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124122, 123mp3an3 1453 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125117, 120, 124syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
126116, 125mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
1272, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
12835, 8, 27, 127syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
1292, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
13035, 8, 29, 129syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
1312, 49, 3, 4nmpar 23085 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
1325, 128, 130, 131syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
133 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13459recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
135 sqmul 12966 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
136133, 134, 135sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
137 sq2 13000 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
138137oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
139136, 138syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 23036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1415, 44, 57, 140syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
142 0le2 11149 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
143 absid 14080 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
144118, 142, 143mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
145144oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
146141, 145syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 18968 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
148 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.g𝑈) = (.g𝑈)
1492, 148, 49mulg2 17597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1508, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1512, 148, 52clmmulg 22947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
15237, 43, 8, 151syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
153150, 152eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(+g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
1542, 49lmodvacl 18925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
15535, 27, 29, 154syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
1562, 52clmvs1 22939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
15737, 155, 156syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
158133, 45recidi 10794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 2)) = 1
159158oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))
1602, 38, 52, 39clmvsass 22935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
162159, 161syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
163157, 162eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
164153, 163oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
165 lmodabl 18958 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
16635, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
1672, 49, 3ablsub4 18264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
169147, 164, 1683eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
170169fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
171146, 170eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
172171oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
173139, 172eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
174 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1754, 2, 3, 174ngpdsr 22456 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17617, 27, 29, 175syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17720oveqi 6703 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
17827, 29ovresd 6843 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
179177, 178syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 18275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)) = (𝐿 𝐾))
181180fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
182176, 179, 1813eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))))
183182oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2))
184173, 183oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)))
18520oveqi 6703 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
1868, 27ovresd 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
187185, 186syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
1884, 2, 3, 174ngpds 22455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
18917, 8, 27, 188syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
190187, 189eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
191190oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2))
19220oveqi 6703 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
1938, 29ovresd 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
194192, 193syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
1954, 2, 3, 174ngpds 22455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
19617, 8, 29, 195syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
197194, 196eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
198197oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))
199191, 198oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2)))
200199oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
201132, 184, 2003eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
202 2t2e4 11215 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
203202oveq1i 6700 . . . . . 6 ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
204 2cnd 11131 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
205204, 204, 114mulassd 10101 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206203, 205syl5eqr 2699 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
207126, 201, 2063brtr4d 4717 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
20833, 63, 67, 104, 207letrd 10232 . . 3 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
209 4cn 11136 . . . . 5 4 ∈ ℂ
210209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21113recnd 10106 . . . 4 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
21264recnd 10106 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
213210, 211, 212adddid 10102 . . 3 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214208, 213breqtrd 4711 . 2 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
215 remulcl 10059 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
2161, 64, 215sylancr 696 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
21732, 216, 15leadd2d 10660 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
218214, 217mpbird 247 1 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  2c2 11108  4c4 11110  cz 11415  cexp 12900  abscabs 14018  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  -gcsg 17471  .gcmg 17587  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  Metcme 19780  MetSpcmt 22170  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  ℂModcclm 22908  ℂPreHilccph 23012  CMetSpccms 23175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-phl 20019  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014
This theorem is referenced by:  minveclem3  23246  minveclem7  23252
  Copyright terms: Public domain W3C validator