MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem2 22922
Description: Lemma for minvec 22932. Any two points 𝐾 and 𝐿 in 𝑌 are close to each other if they are close to the infimum of distance to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minveclem2.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
minveclem2.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
minveclem2.3 (𝜑𝐾𝑌)
minveclem2.4 (𝜑𝐿𝑌)
minveclem2.5 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
minveclem2.6 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
Assertion
Ref Expression
minveclem2 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝐾   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆   𝑦,𝐿
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem minveclem2
Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4re 10944 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
2 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
11 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 22921 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
1312resqcld 12852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
14 remulcl 9877 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ (𝑆↑2) ∈ ℝ) → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
151, 13, 14sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
16 cphngp 22705 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
175, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
18 ngpms 22155 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
20 minvec.d . . . . . . . . 9 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
212, 20msmet 22013 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
23 eqid 2609 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
242, 23lssss 18704 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
256, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
26 minveclem2.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑌)
2725, 26sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑋)
28 minveclem2.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿𝑌)
2925, 28sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑋)
30 metcl 21888 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3122, 27, 29, 30syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) ∈ ℝ)
3231resqcld 12852 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
3315, 32readdcld 9925 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
34 cphlmod 22706 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
355, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
36 cphclm 22721 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ ℂMod)
375, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂMod)
38 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
39 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4038, 39clmzss 22617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ ℂMod → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
4137, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
42 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
4441, 43sseldd 3568 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
45 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 0
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4738, 39cphreccl 22713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ 2 ≠ 0) → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
485, 44, 46, 47syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
49 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5049, 23lssvacl 18721 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝐾𝑌𝐿𝑌)) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
5135, 6, 26, 28, 50syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)
52 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5338, 52, 39, 23lssvscl 18722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑌)) → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5435, 6, 48, 51, 53syl22anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌)
5525, 54sseldd 3568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋)
562, 3lmodvsubcl 18677 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑋) → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
5735, 8, 55, 56syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋)
582, 4nmcl 22170 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
5917, 57, 58syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ)
6059resqcld 12852 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ)
61 remulcl 9877 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
621, 60, 61sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) ∈ ℝ)
6362, 32readdcld 9925 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
64 minveclem2.1 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6513, 64readdcld 9925 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ)
66 remulcl 9877 . . . . 5 ((4 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
671, 65, 66sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
682, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
6968simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
7068simp1d 1065 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
7168simp2d 1066 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
72 0re 9896 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
73 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
7473ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7574rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7672, 69, 75sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
7772a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
78 infregelb 10854 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
7970, 71, 76, 77, 78syl31anc 1320 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8069, 79mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
8180, 11syl6breqr 4619 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
82 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
83 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
8483fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
8584eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) → ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
8685rspcev 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) ∈ 𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
8754, 82, 86sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
88 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
89 fvex 6098 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
9088, 89elrnmpti 5284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) ↔ ∃𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
9187, 90sylibr 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
9291, 10syl6eleqr 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅)
93 infrelb 10855 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9470, 76, 92, 93syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
9511, 94syl5eqbr 4612 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
96 le2sq2 12756 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆) ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))) → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
9712, 81, 59, 95, 96syl22anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
98 4pos 10963 . . . . . . . . 9 0 < 4
991, 98pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
100 lemul2 10725 . . . . . . . 8 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10199, 100mp3an3 1404 . . . . . . 7 (((𝑆↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ∈ ℝ) → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10213, 60, 101syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆↑2) ≤ ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2) ↔ (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))))
10397, 102mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (4 · (𝑆↑2)) ≤ (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
10415, 62, 32, 103leadd1dd 10490 . . . 4 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)))
105 metcl 21888 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
10622, 8, 27, 105syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) ∈ ℝ)
107106resqcld 12852 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ∈ ℝ)
108 metcl 21888 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
10922, 8, 29, 108syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) ∈ ℝ)
110109resqcld 12852 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ∈ ℝ)
111 minveclem2.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
112 minveclem2.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝐵))
113107, 110, 65, 65, 111, 112le2addd 10495 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
11465recnd 9924 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℂ)
1151142timesd 11122 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (((𝑆↑2) + 𝐵) + ((𝑆↑2) + 𝐵)))
116113, 115breqtrrd 4605 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
117107, 110readdcld 9925 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ)
118 2re 10937 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
119 remulcl 9877 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑆↑2) + 𝐵) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
120118, 65, 119sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ)
121 2pos 10959 . . . . . . . . 9 0 < 2
122118, 121pm3.2i 469 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
123 lemul2 10725 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
124122, 123mp3an3 1404 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ∈ ℝ) → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
125117, 120, 124syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) ≤ (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) ↔ (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))))
126116, 125mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) ≤ (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
1272, 3lmodvsubcl 18677 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
12835, 8, 27, 127syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋)
1292, 3lmodvsubcl 18677 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
13035, 8, 29, 129syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋)
1312, 49, 3, 4nmpar 22768 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ (𝐴 𝐾) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 𝐿) ∈ 𝑋) → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
1325, 128, 130, 131syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
133 2cn 10938 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
13459recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ)
135 sqmul 12743 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
136133, 134, 135sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
137 sq2 12777 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
138137oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2))
139136, 138syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)))
1402, 4, 52, 38, 39cphnmvs 22722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ ℂPreHil ∧ 2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1415, 44, 57, 140syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
142 0le2 10958 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
143 absid 13830 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
144118, 142, 143mp2an 703 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
145144oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
146141, 145syl6eq 2659 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))))
1472, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55lmodsubdi 18689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
148 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.g𝑈) = (.g𝑈)
1492, 148, 49mulg2 17319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑋 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1508, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (𝐴(+g𝑈)𝐴))
1512, 148, 52clmmulg 22640 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
15237, 43, 8, 151syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2(.g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
153150, 152eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴(+g𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠𝑈)𝐴))
1542, 49lmodvacl 18646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
15535, 27, 29, 154syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)
1562, 52clmvs1 22632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
15737, 155, 156syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (𝐾(+g𝑈)𝐿))
158133, 45recidi 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (1 / 2)) = 1
159158oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))
1602, 38, 52, 39clmvsass 22628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ ℂMod ∧ (2 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (1 / 2) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)) ∧ (𝐾(+g𝑈)𝐿) ∈ 𝑋)) → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
16137, 44, 48, 155, 160syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((2 · (1 / 2))( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
162159, 161syl5eqr 2657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
163157, 162eqtr3d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾(+g𝑈)𝐿) = (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))
164153, 163oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((2( ·𝑠𝑈)𝐴) (2( ·𝑠𝑈)((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))
165 lmodabl 18679 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Abel)
16635, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ Abel)
1672, 49, 3ablsub4 17987 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Abel ∧ (𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ (𝐾𝑋𝐿𝑋)) → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
168166, 8, 8, 27, 29, 167syl122anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴(+g𝑈)𝐴) (𝐾(+g𝑈)𝐿)) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
169147, 164, 1683eqtr2d 2649 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))) = ((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))
170169fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘(2( ·𝑠𝑈)(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
171146, 170eqtr3d 2645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))) = (𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿))))
172171oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · (𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿)))))↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
173139, 172eqtr3d 2645 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2))
174 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1754, 2, 3, 174ngpdsr 22159 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐾𝑋𝐿𝑋) → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17617, 27, 29, 175syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
17720oveqi 6540 . . . . . . . . . 10 (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
17827, 29ovresd 6677 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
179177, 178syl5eq 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝐾(dist‘𝑈)𝐿))
1802, 3, 166, 8, 27, 29ablnnncan1 17998 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)) = (𝐿 𝐾))
181180fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))) = (𝑁‘(𝐿 𝐾)))
182176, 179, 1813eqtr4d 2653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐷𝐿) = (𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿))))
183182oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2))
184173, 183oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘((𝐴 𝐾)(+g𝑈)(𝐴 𝐿)))↑2) + ((𝑁‘((𝐴 𝐾) (𝐴 𝐿)))↑2)))
18520oveqi 6540 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾)
1868, 27ovresd 6677 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
187185, 186syl5eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐾))
1884, 2, 3, 174ngpds 22158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐾𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
18917, 8, 27, 188syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
190187, 189eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐾) = (𝑁‘(𝐴 𝐾)))
191190oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐾)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2))
19220oveqi 6540 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿)
1938, 29ovresd 6677 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
194192, 193syl5eq 2655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝐴(dist‘𝑈)𝐿))
1954, 2, 3, 174ngpds 22158 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐿𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
19617, 8, 29, 195syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
197194, 196eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷𝐿) = (𝑁‘(𝐴 𝐿)))
198197oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝐿)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))
199191, 198oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2)) = (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2)))
200199oveq2d 6543 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))) = (2 · (((𝑁‘(𝐴 𝐾))↑2) + ((𝑁‘(𝐴 𝐿))↑2))))
201132, 184, 2003eqtr4d 2653 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) = (2 · (((𝐴𝐷𝐾)↑2) + ((𝐴𝐷𝐿)↑2))))
202 2t2e4 11024 . . . . . . 7 (2 · 2) = 4
203202oveq1i 6537 . . . . . 6 ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵))
204 2cnd 10940 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
205204, 204, 114mulassd 9919 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
206203, 205syl5eqr 2657 . . . . 5 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = (2 · (2 · ((𝑆↑2) + 𝐵))))
207126, 201, 2063brtr4d 4609 . . . 4 (𝜑 → ((4 · ((𝑁‘(𝐴 ((1 / 2)( ·𝑠𝑈)(𝐾(+g𝑈)𝐿))))↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
20833, 63, 67, 104, 207letrd 10045 . . 3 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)))
209 4cn 10945 . . . . 5 4 ∈ ℂ
210209a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
21113recnd 9924 . . . 4 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
21264recnd 9924 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
213210, 211, 212adddid 9920 . . 3 (𝜑 → (4 · ((𝑆↑2) + 𝐵)) = ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
214208, 213breqtrd 4603 . 2 (𝜑 → ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵)))
215 remulcl 9877 . . . 4 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
2161, 64, 215sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (4 · 𝐵) ∈ ℝ)
21732, 216, 15leadd2d 10471 . 2 (𝜑 → (((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵) ↔ ((4 · (𝑆↑2)) + ((𝐾𝐷𝐿)↑2)) ≤ ((4 · (𝑆↑2)) + (4 · 𝐵))))
218214, 217mpbird 245 1 (𝜑 → ((𝐾𝐷𝐿)↑2) ≤ (4 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cmpt 4637   × cxp 5026  ran crn 5029  cres 5030  cfv 5790  (class class class)co 6527  infcinf 8207  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931   / cdiv 10533  2c2 10917  4c4 10919  cz 11210  cexp 12677  abscabs 13768  Basecbs 15641  s cress 15642  +gcplusg 15714  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  distcds 15723  TopOpenctopn 15851  -gcsg 17193  .gcmg 17309  Abelcabl 17963  LModclmod 18632  LSubSpclss 18699  Metcme 19499  MetSpcmt 21874  normcnm 22132  NrmGrpcngp 22133  ℂModcclm 22601  ℂPreHilccph 22698  CMetSpccms 22854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-0g 15871  df-topgen 15873  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-ghm 17427  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-staf 18614  df-srng 18615  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lmhm 18789  df-lvec 18870  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-cnfld 19514  df-phl 19735  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-xms 21876  df-ms 21877  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nlm 22142  df-clm 22602  df-cph 22700
This theorem is referenced by:  minveclem3  22925  minveclem7  22931
  Copyright terms: Public domain W3C validator