Theorem minveclem3 24035

Description: Lemma for minvec 24042. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
minvec.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w	⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
minvec.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r	⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
minvec.s	⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d	⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f	⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})

Assertion

Ref	Expression
minveclem3	⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝑦, −   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   − (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem3

Dummy variables 𝑤 𝑠 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑠 ∈ ℝ+)
2		2z 12017	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		rpexpcl 13451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 12446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
6		4nn 11723	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
7		nnrp 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
9		rpdivcl 12417	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
10	5, 8, 9	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
11		minvec.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		rabexg 5237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V)
15		eqid 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
16		oveq2 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
17	16	breq2d 5081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
18	17	rabbidv 3483	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = (((𝑠↑2) / 2) / 4) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})
19	15, 18	elrnmpt1s 5832	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+ ∧ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
20	10, 14, 19	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
21		minvec.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
22	20, 21	eleqtrrdi 2927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹)
23		oveq2 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑢))
24	23	oveq1d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑢)↑2))
25	24	breq1d 5079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑢 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
26	25	elrab 3683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
27		oveq2 7167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑣))
28	27	oveq1d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → ((𝐴𝐷𝑦)↑2) = ((𝐴𝐷𝑣)↑2))
29	28	breq1d 5079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)) ↔ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
30	29	elrab 3683	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))
31	26, 30	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}) ↔ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))))
32		simprll 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑌)
33		simprrl 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑌)
34	32, 33	ovresd 7318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
35		minvec.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
36		cphngp 23780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37		ngpms 23212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
38		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑈)
39		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
40	38, 39	msmet 23070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
41	35, 36, 37, 40	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
42	41	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43		eqid 2824	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
44	38, 43	lssss 19711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
45	11, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
46	45	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
47	46, 32	sseldd 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑢 ∈ 𝑋)
48	46, 33	sseldd 3971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑣 ∈ 𝑋)
49		metcl 22945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
50	42, 47, 48, 49	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) ∈ ℝ)
51	50	resqcld 13614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ∈ ℝ)
52	5	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ+)
53	52	rpred 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℝ)
54	4	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ+)
55	54	rpred 12434	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑠↑2) ∈ ℝ)
56		minvec.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ − = (-g‘𝑈)
57		minvec.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑈)
58	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑈 ∈ ℂPreHil)
59	11	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
60		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
61	60	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑈 ↾s 𝑌) ∈ CMetSp)
62		minvec.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
63	62	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
64		minvec.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
65		minvec.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ran (𝑦 ∈ 𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 − 𝑦)))
66		minvec.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
67	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ+)
68	67	rpred 12434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (((𝑠↑2) / 2) / 4) ∈ ℝ)
69	67	rpge0d 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (((𝑠↑2) / 2) / 4))
70		simprlr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
71		simprrr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
72	38, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71	minveclem2 24032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)))
73	52	rpcnd 12436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) ∈ ℂ)
74		4cn 11725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ∈ ℂ)
76		4ne0 11748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 4 ≠ 0)
78	73, 75, 77	divcan2d 11421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (4 · (((𝑠↑2) / 2) / 4)) = ((𝑠↑2) / 2))
79	72, 78	breqtrd 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑠↑2) / 2))
80		rphalflt 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠↑2) ∈ ℝ+ → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
81	54, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑠↑2) / 2) < (𝑠↑2))
82	51, 53, 55, 79, 81	lelttrd 10801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2))
83		rpre 12400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 𝑠 ∈ ℝ)
84	83	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 𝑠 ∈ ℝ)
85		metge0 22958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
86	42, 47, 48, 85	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ (𝑢𝐷𝑣))
87		rpge0 12405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝑠)
88	87	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → 0 ≤ 𝑠)
89	50, 84, 86, 88	lt2sqd 13622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑠 ↔ ((𝑢𝐷𝑣)↑2) < (𝑠↑2)))
90	82, 89	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢𝐷𝑣) < 𝑠)
91	34, 90	eqbrtrd 5091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑢)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))) ∧ (𝑣 ∈ 𝑌 ∧ ((𝐴𝐷𝑣)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))))) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
92	31, 91	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∧ 𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))})) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
93	92	ralrimivva 3194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
94		raleq 3408	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
95	94	raleqbi1dv 3406	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} → (∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠 ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
96	95	rspcev 3626	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} ∈ 𝐹 ∧ ∀𝑢 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))}∀𝑣 ∈ {𝑦 ∈ 𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (((𝑠↑2) / 2) / 4))} (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
97	22, 93, 96	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
98	97	ralrimiva 3185	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠)
99	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39	minveclem3a 24033	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
100		cmetmet 23892	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
101		metxmet 22947	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
102	99, 100, 101	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
103	38, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21	minveclem3b 24034	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
104		fgcfil 23877	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (fBas‘𝑌)) → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
105	102, 103, 104	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ∀𝑠 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑤 ∀𝑣 ∈ 𝑤 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑠))
106	98, 105	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  {crab 3145  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556  ran crn 5559   ↾ cres 5560  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  infcinf 8908  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678   ≤ cle 10679   / cdiv 11300  ℕcn 11641  2c2 11695  4c4 11697  ℤcz 11984  ℝ⁺crp 12392  ↑cexp 13432  Basecbs 16486   ↾_s cress 16487  distcds 16577  TopOpenctopn 16698  -_gcsg 18108  LSubSpclss 19706  ∞Metcxmet 20533  Metcmet 20534  fBascfbas 20536  filGencfg 20537  MetSpcms 22931  normcnm 23189  NrmGrpcngp 23190  ℂPreHilccph 23773  CauFilccfil 23858  CMetccmet 23860  CMetSpccms 23938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-inf 8910  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ico 12747  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-topgen 16720  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-mhm 17959  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-mulg 18228  df-subg 18279  df-ghm 18359  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-rnghom 19470  df-drng 19507  df-subrg 19536  df-staf 19619  df-srng 19620  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lmhm 19797  df-lvec 19878  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-phl 20773  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-fil 22457  df-xms 22933  df-ms 22934  df-nm 23195  df-ngp 23196  df-nlm 23199  df-clm 23670  df-cph 23775  df-cfil 23861  df-cmet 23863  df-cms 23941

This theorem is referenced by:  minveclem4a  24036