MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem3a 23244
Description: Lemma for minvec 23253. 𝐷 is a complete metric when restricted to 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem3a (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝐴   𝑦,𝐽   𝑦,𝑁   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑦,𝑋   𝑦,𝑌   𝑦,𝐷   𝑦,𝑆

Proof of Theorem minveclem3a
StepHypRef Expression
1 minvec.w . . 3 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
2 eqid 2651 . . . 4 (Base‘(𝑈s 𝑌)) = (Base‘(𝑈s 𝑌))
3 eqid 2651 . . . 4 ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
42, 3cmscmet 23189 . . 3 ((𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))) ∈ (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
6 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
76reseq1i 5424 . . 3 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌))
8 minvec.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
9 minvec.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝑈)
10 eqid 2651 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
119, 10lssss 18985 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
128, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑋)
13 xpss12 5158 . . . . . 6 ((𝑌𝑋𝑌𝑋) → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1412, 12, 13syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1514resabs1d 5463 . . . 4 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑈s 𝑌) = (𝑈s 𝑌)
17 eqid 2651 . . . . . . 7 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
1816, 17ressds 16120 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
198, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘𝑈) = (dist‘(𝑈s 𝑌)))
2016, 9ressbas2 15978 . . . . . . 7 (𝑌𝑋𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2112, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(𝑈s 𝑌)))
2221sqxpeqd 5175 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 × 𝑌) = ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌))))
2319, 22reseq12d 5429 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2415, 23eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
257, 24syl5eq 2697 . 2 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((dist‘(𝑈s 𝑌)) ↾ ((Base‘(𝑈s 𝑌)) × (Base‘(𝑈s 𝑌)))))
2621fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (CMet‘𝑌) = (CMet‘(Base‘(𝑈s 𝑌))))
275, 25, 263eltr4d 2745 1 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cmpt 4762   × cxp 5141  ran crn 5144  cres 5145  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cr 9973   < clt 10112  Basecbs 15904  s cress 15905  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  -gcsg 17471  LSubSpclss 18980  normcnm 22428  ℂPreHilccph 23012  CMetcms 23098  CMetSpccms 23175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-ds 16011  df-lss 18981  df-cms 23178
This theorem is referenced by:  minveclem3  23246  minveclem4a  23247
  Copyright terms: Public domain W3C validator