MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4 22924
Description: Lemma for minvec 22928. The convergent point of the Cauchy sequence 𝐹 attains the minimum distance, and so is closer to 𝐴 than any other point in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
minvec.t 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
Assertion
Ref Expression
minveclem4 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝑟,𝑦,𝐴   𝐽,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑟,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑋,𝑟,𝑥,𝑦   𝑌,𝑟,𝑥,𝑦   𝐷,𝑟,𝑥,𝑦   𝑆,𝑟,𝑥,𝑦   𝑇,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3791 . . 3 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
2 minvec.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑈)
3 minvec.m . . . 4 = (-g𝑈)
4 minvec.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑈)
5 minvec.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 minvec.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
7 minvec.w . . . 4 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
8 minvec.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
9 minvec.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.r . . . 4 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
11 minvec.s . . . 4 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
12 minvec.d . . . 4 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
13 minvec.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
14 minvec.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
152, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4a 22922 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
161, 15sseldi 3561 . 2 (𝜑𝑃𝑌)
1712oveqi 6536 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃)
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14minveclem4b 22923 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑋)
198, 18ovresd 6673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
2017, 19syl5eq 2651 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑃))
21 cphngp 22701 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
23 eqid 2605 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
244, 2, 3, 23ngpds 22154 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2522, 8, 18, 24syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(dist‘𝑈)𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2620, 25eqtrd 2639 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
2726adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
28 ngpms 22151 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ MetSp)
292, 12msmet 22009 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ MetSp → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3022, 28, 293syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31 metcl 21884 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3230, 8, 18, 31syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
3332adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ)
342, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11minveclem4c 22917 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
3534adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
3622adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
37 cphlmod 22702 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
385, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
408adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
41 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
422, 41lssss 18700 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
436, 42syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑋)
4443sselda 3563 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
452, 3lmodvsubcl 18673 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
4639, 40, 44, 45syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋)
472, 4nmcl 22166 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4836, 46, 47syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ℝ)
4934, 32ltnled 10031 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ ¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
502, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13minveclem3b 22920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
51 fbsspw 21384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
53 sspwb 4834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5443, 53sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5552, 54sstrd 3573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
56 fvex 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑈) ∈ V
572, 56eqeltri 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ V
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ V)
59 fbasweak 21417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6050, 55, 58, 59syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
62 fgcl 21430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
64 ssfg 21424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
6561, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐹 ⊆ (𝑋filGen𝐹))
66 minvec.t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 = (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))
6732, 34readdcld 9921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ)
6867rehalfcld 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
6968resqcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
7034resqcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
7169, 70resubcld 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ)
7334, 32, 34ltadd1d 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
7434recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
75742timesd 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑆 + 𝑆))
7675breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝑆 + 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
77 2re 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
78 2pos 10955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 2
7977, 78pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
81 ltmuldiv2 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8234, 67, 80, 81syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((2 · 𝑆) < ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
8373, 76, 823bitr2d 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
842, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10minveclem1 22916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
8584simp3d 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
8684simp1d 1065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ⊆ ℝ)
8784simp2d 1066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝑅 ≠ ∅)
88 0re 9892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
89 breq1 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
9089ralbidv 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9190rspcev 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9288, 85, 91sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
9388a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
94 infregelb 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9586, 87, 92, 93, 94syl31anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
9685, 95mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
9796, 11syl6breqr 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
98 metge0 21897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑃𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
9930, 8, 18, 98syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑃))
10032, 34, 99, 97addge0d 10448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆))
101 divge0 10737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10267, 100, 80, 101syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
10334, 68, 97, 102lt2sqd 12856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑆 < (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
10470, 69posdifd 10459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑆↑2) < ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
10583, 103, 1043bitrd 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) ↔ 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))))
106105biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 0 < (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
10772, 106elrpd 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)) ∈ ℝ+)
10866, 107syl5eqel 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1096adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
110 rabexg 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V)
112 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}) = (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
113 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑇 → ((𝑆↑2) + 𝑟) = ((𝑆↑2) + 𝑇))
114113breq2d 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑟 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)))
115114rabbidv 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑟 = 𝑇 → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)} = {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)})
116112, 115elrnmpt1s 5277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ V) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
117108, 111, 116syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)}))
118117, 13syl6eleqr 2694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ 𝐹)
11965, 118sseldd 3564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
120 ssrab2 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋)
12266oveq2i 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2)))
12370ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
124123recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
12568ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
126125resqcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℝ)
127126recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) ∈ ℂ)
128124, 127pncan3d 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + (((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2) − (𝑆↑2))) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
129122, 128syl5eq 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝑆↑2) + 𝑇) = ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2))
130129breq2d 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
13130ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1328ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝐴𝑋)
13344adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑋)
134 metcl 21884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
135131, 132, 133, 134syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
136 metge0 21897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
137131, 132, 133, 136syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝑦))
138102ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → 0 ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
139135, 125, 137, 138le2sqd 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)↑2)))
140130, 139bitr4d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) ∧ 𝑦𝑌) → (((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
141140rabbidva 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} = {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
14243adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑌𝑋)
143 rabss2 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑌𝑋 → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
144142, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
145141, 144eqsstrd 3597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
146 filss 21405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ({𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ∈ (𝑋filGen𝐹) ∧ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑇)} ⊆ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
14763, 119, 121, 145, 146syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹))
148 flimclsi 21530 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (𝑋filGen𝐹) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
150 inss1 3790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
151150, 15sseldi 3561 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
152151adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
153149, 152sseldd 3564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}))
154 ngpxms 22152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
1552, 12xmsxmet 22008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
15622, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
157156adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1588adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐴𝑋)
15968adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ)
160159rexrd 9941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*)
161 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
162 eqid 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}
163161, 162blcld 22057 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ∈ ℝ*) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
164157, 158, 160, 163syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
1659, 2, 12xmstopn 22003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
16622, 154, 1653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
167166adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
168167fveq2d 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(MetOpen‘𝐷)))
169164, 168eleqtrrd 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽))
170 cldcls 20594 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)}) = {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
172153, 171eleqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → 𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)})
173 oveq2 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑃 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑃))
174173breq1d 4583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
175174elrab 3326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
176175simprbi 478 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ {𝑦𝑋 ∣ (𝐴𝐷𝑦) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)} → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
177172, 176syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2))
17832, 34, 32leadd2d 10467 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
17932recnd 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ∈ ℂ)
1801792timesd 11118 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐴𝐷𝑃)) = ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)))
181180breq1d 4583 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ ((𝐴𝐷𝑃) + (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆)))
182 lemuldiv2 10749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18379, 182mp3an3 1404 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐷𝑃) ∈ ℝ ∧ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
18432, 67, 183syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝐴𝐷𝑃)) ≤ ((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
185178, 181, 1843bitr2d 294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 ↔ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)))
186185biimpar 500 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐷𝑃) ≤ (((𝐴𝐷𝑃) + 𝑆) / 2)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
187177, 186syldan 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 < (𝐴𝐷𝑃)) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
188187ex 448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 < (𝐴𝐷𝑃) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
18949, 188sylbird 248 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆))
190189pm2.18d 122 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
191190adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ 𝑆)
19286adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
19392adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
194 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
195 fvex 6094 . . . . . . . . 9 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
196 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
197196elrnmpt1 5278 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑌 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
198194, 195, 197sylancl 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
199198, 10syl6eleqr 2694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅)
200 infrelb 10851 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ 𝑅) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
201192, 193, 199, 200syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20211, 201syl5eqbr 4608 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑆 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20333, 35, 48, 191, 202letrd 10041 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐴𝐷𝑃) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
20427, 203eqbrtrrd 4597 . . 3 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
205204ralrimiva 2944 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
206 oveq2 6531 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴 𝑥) = (𝐴 𝑃))
207206fveq2d 6088 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) = (𝑁‘(𝐴 𝑃)))
208207breq1d 4583 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
209208ralbidv 2964 . . 3 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
210209rspcev 3277 . 2 ((𝑃𝑌 ∧ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑃)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
21116, 205, 210syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑌𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  {crab 2895  Vcvv 3168  cin 3534  wss 3535  c0 3869  𝒫 cpw 4103   cuni 4362   class class class wbr 4573  cmpt 4633   × cxp 5022  ran crn 5025  cres 5026  cfv 5786  (class class class)co 6523  infcinf 8203  cr 9787  0cc0 9788   + caddc 9791   · cmul 9793  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cmin 10113   / cdiv 10529  2c2 10913  +crp 11660  cexp 12673  Basecbs 15637  s cress 15638  distcds 15719  TopOpenctopn 15847  -gcsg 17189  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  ∞Metcxmt 19494  Metcme 19495  fBascfbas 19497  filGencfg 19498  MetOpencmopn 19499  Clsdccld 20568  clsccl 20570  Filcfil 21397   fLim cflim 21486  ∞MetSpcxme 21869  MetSpcmt 21870  normcnm 22128  NrmGrpcngp 22129  ℂPreHilccph 22694  CMetSpccms 22850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-rest 15848  df-0g 15867  df-topgen 15869  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-subrg 18543  df-staf 18610  df-srng 18611  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-lmhm 18785  df-lvec 18866  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-phl 19731  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-haus 20867  df-fil 21398  df-flim 21491  df-xms 21872  df-ms 21873  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-nlm 22138  df-clm 22598  df-cph 22696  df-cfil 22775  df-cmet 22777  df-cms 22853
This theorem is referenced by:  minveclem5  22925
  Copyright terms: Public domain W3C validator