MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4a 23397
Description: Lemma for minvec 23403. 𝐹 converges to a point 𝑃 in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 6837 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 7114 . . . 4 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4349 . . 3 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 23169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 22602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑈)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 22453 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1413oveq1d 6824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌))
1510, 11xmsxmet 22458 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 eqid 2756 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1910, 18lssss 19135 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑋)
21 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
22 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
23 eqid 2756 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2421, 22, 23metrest 22526 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2516, 20, 24syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2614, 25eqtr2d 2791 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑈)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (norm‘𝑈)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 23395 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
35 fgcl 21879 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
37 fvex 6358 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑈) ∈ V
3810, 37eqeltri 2831 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
40 trfg 21892 . . . . . . . . . 10 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ V) → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
4136, 20, 39, 40syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
42 fgabs 21880 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4334, 20, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4443oveq1d 6824 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4541, 44eqtr3d 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4626, 45oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)))
47 xmstps 22455 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝑈 ∈ TopSp)
488, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
4910, 9istps 20936 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5048, 49sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
51 fbsspw 21833 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5234, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
53 sspwb 5062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5420, 53sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5552, 54sstrd 3750 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
56 fbasweak 21866 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5734, 55, 39, 56syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
58 fgcl 21879 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
60 filfbas 21849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
6134, 35, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
62 fbsspw 21833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6463, 54sstrd 3750 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
65 fbasweak 21866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
6661, 64, 39, 65syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
67 ssfg 21873 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6968, 43sseqtrd 3778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
70 filtop 21856 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7136, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7269, 71sseldd 3741 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹))
73 flimrest 21984 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7450, 59, 72, 73syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7546, 74eqtrd 2790 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 23394 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 23396 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
7823cmetcvg 23279 . . . . . . 7 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7976, 77, 78syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
8075, 79eqnetrrd 2996 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
8180neneqd 2933 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅)
82 inss1 3972 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8322methaus 22522 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8415, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ∞MetSp → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8512, 84eqeltrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 ∈ Haus)
86 hausflimi 21981 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
878, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
88 ssn0 4115 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
8982, 80, 88sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
90 n0moeu 4076 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅ → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9287, 91mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
93 euen1b 8188 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9492, 93sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜)
95 en1b 8185 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜 ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9694, 95sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9782, 96syl5sseq 3790 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
98 sssn 4499 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9997, 98sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
10099ord 391 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
10181, 100mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1024, 101syl5eleqr 2842 . 2 (𝜑 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1031, 102syl5eqel 2839 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382   = wceq 1628  wcel 2135  ∃!weu 2603  ∃*wmo 2604  wne 2928  {crab 3050  Vcvv 3336  cin 3710  wss 3711  c0 4054  𝒫 cpw 4298  {csn 4317   cuni 4584   class class class wbr 4800  cmpt 4877   × cxp 5260  ran crn 5263  cres 5264  cfv 6045  (class class class)co 6809  1𝑜c1o 7718  cen 8114  infcinf 8508  cr 10123   + caddc 10127   < clt 10262  cle 10263  2c2 11258  +crp 12021  cexp 13050  Basecbs 16055  s cress 16056  distcds 16148  t crest 16279  TopOpenctopn 16280  -gcsg 17621  LSubSpclss 19130  ∞Metcxmt 19929  fBascfbas 19932  filGencfg 19933  MetOpencmopn 19934  TopOnctopon 20913  TopSpctps 20934  Hauscha 21310  Filcfil 21846   fLim cflim 21935  ∞MetSpcxme 22319  normcnm 22578  NrmGrpcngp 22579  ℂPreHilccph 23162  CauFilccfil 23246  CMetcms 23248  CMetSpccms 23325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-tpos 7517  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-seq 12992  df-exp 13051  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-rest 16281  df-0g 16300  df-topgen 16302  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-mhm 17532  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-sbg 17624  df-mulg 17738  df-subg 17788  df-ghm 17855  df-cmn 18391  df-abl 18392  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-cring 18746  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-rnghom 18913  df-drng 18947  df-subrg 18976  df-staf 19043  df-srng 19044  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lmhm 19220  df-lvec 19301  df-sra 19370  df-rgmod 19371  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-phl 20169  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-ntr 21022  df-nei 21100  df-haus 21317  df-fil 21847  df-flim 21940  df-xms 22322  df-ms 22323  df-nm 22584  df-ngp 22585  df-nlm 22588  df-clm 23059  df-cph 23164  df-cfil 23249  df-cmet 23251  df-cms 23328
This theorem is referenced by:  minveclem4b  23398  minveclem4  23399
  Copyright terms: Public domain W3C validator