MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem4a 23109
Description: Lemma for minvec 23115. 𝐹 converges to a point 𝑃 in 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
minvec.f 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
minvec.p 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
Assertion
Ref Expression
minveclem4a (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,   𝑦,𝑟,𝐴   𝐽,𝑟,𝑦   𝑦,𝑃   𝑦,𝐹   𝑦,𝑁   𝜑,𝑟,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑈   𝑋,𝑟,𝑦   𝑌,𝑟,𝑦   𝐷,𝑟,𝑦   𝑆,𝑟,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑟)   𝑅(𝑟)   𝑈(𝑟)   𝐹(𝑟)   (𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2 𝑃 = (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
2 ovex 6632 . . . . 5 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
32uniex 6906 . . . 4 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ V
43snid 4179 . . 3 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
6 cphngp 22881 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
7 ngpxms 22315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ NrmGrp → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝑈)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
129, 10, 11xmstopn 22166 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘𝐷))
1413oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌))
1510, 11xmsxmet 22171 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
168, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1910, 18lssss 18856 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑋)
21 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
22 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
23 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
2421, 22, 23metrest 22239 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2516, 20, 24syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((MetOpen‘𝐷) ↾t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
2614, 25eqtr2d 2656 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (𝐽t 𝑌))
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12 = (-g𝑈)
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (norm‘𝑈)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑋)
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ran (𝑟 ∈ ℝ+ ↦ {𝑦𝑌 ∣ ((𝐴𝐷𝑦)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 𝑟)})
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 23107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑌))
35 fgcl 21592 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌))
37 fvex 6158 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝑈) ∈ V
3810, 37eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ∈ V
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ V)
40 trfg 21605 . . . . . . . . . 10 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋𝑋 ∈ V) → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
4136, 20, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = (𝑌filGen𝐹))
42 fgabs 21593 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑌𝑋) → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4334, 20, 42syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) = (𝑋filGen𝐹))
4443oveq1d 6619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)) ↾t 𝑌) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4541, 44eqtr3d 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) = ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌))
4626, 45oveq12d 6622 . . . . . . 7 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)))
47 xmstps 22168 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝑈 ∈ TopSp)
488, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ TopSp)
4910, 9istps 20651 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5048, 49sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
51 fbsspw 21546 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
5234, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑌)
53 sspwb 4878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌𝑋 ↔ 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5420, 53sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ⊆ 𝒫 𝑋)
5552, 54sstrd 3593 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
56 fbasweak 21579 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
5734, 55, 39, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
58 fgcl 21592 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
5957, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋))
60 filfbas 21562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
6134, 35, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌))
62 fbsspw 21546 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
6463, 54sstrd 3593 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋)
65 fbasweak 21579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ⊆ 𝒫 𝑋𝑋 ∈ V) → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
6661, 64, 39, 65syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋))
67 ssfg 21586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen(𝑌filGen𝐹)))
6968, 43sseqtrd 3620 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ⊆ (𝑋filGen𝐹))
70 filtop 21569 . . . . . . . . . 10 ((𝑌filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7136, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ (𝑌filGen𝐹))
7269, 71sseldd 3584 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹))
73 flimrest 21697 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝑋filGen𝐹) ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋filGen𝐹)) → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7450, 59, 72, 73syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) fLim ((𝑋filGen𝐹) ↾t 𝑌)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7546, 74eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) = ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 23106 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 23108 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
7823cmetcvg 22991 . . . . . . 7 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ∧ (𝑌filGen𝐹) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
7976, 77, 78syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) fLim (𝑌filGen𝐹)) ≠ ∅)
8075, 79eqnetrrd 2858 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅)
8180neneqd 2795 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅)
82 inss1 3811 . . . . . . 7 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))
8322methaus 22235 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8415, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ ∞MetSp → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
8512, 84eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝑈 ∈ ∞MetSp → 𝐽 ∈ Haus)
86 hausflimi 21694 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Haus → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
878, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
88 ssn0 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∧ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ≠ ∅) → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
8982, 80, 88sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅)
90 n0moeu 3913 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≠ ∅ → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))))
9287, 91mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
93 euen1b 7971 . . . . . . . . 9 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)))
9492, 93sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜)
95 en1b 7968 . . . . . . . 8 ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ≈ 1𝑜 ↔ (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9694, 95sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
9782, 96syl5sseq 3632 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
98 sssn 4326 . . . . . 6 (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) ⊆ { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))} ↔ (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
9997, 98sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ ∨ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
10099ord 392 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = ∅ → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))}))
10181, 100mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌) = { (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹))})
1024, 101syl5eleqr 2705 . 2 (𝜑 (𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
1031, 102syl5eqel 2702 1 (𝜑𝑃 ∈ ((𝐽 fLim (𝑋filGen𝐹)) ∩ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383   = wceq 1480  wcel 1987  ∃!weu 2469  ∃*wmo 2470  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   cuni 4402   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  ran crn 5075  cres 5076  cfv 5847  (class class class)co 6604  1𝑜c1o 7498  cen 7896  infcinf 8291  cr 9879   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  +crp 11776  cexp 12800  Basecbs 15781  s cress 15782  distcds 15871  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  -gcsg 17345  LSubSpclss 18851  ∞Metcxmt 19650  fBascfbas 19653  filGencfg 19654  MetOpencmopn 19655  TopOnctopon 20618  TopSpctps 20619  Hauscha 21022  Filcfil 21559   fLim cflim 21648  ∞MetSpcxme 22032  normcnm 22291  NrmGrpcngp 22292  ℂPreHilccph 22874  CauFilccfil 22958  CMetcms 22960  CMetSpccms 23037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-0g 16023  df-topgen 16025  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lmhm 18941  df-lvec 19022  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-phl 19890  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-haus 21029  df-fil 21560  df-flim 21653  df-xms 22035  df-ms 22036  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nlm 22301  df-clm 22771  df-cph 22876  df-cfil 22961  df-cmet 22963  df-cms 23040
This theorem is referenced by:  minveclem4b  23110  minveclem4  23111
  Copyright terms: Public domain W3C validator