MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveclem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minveclem6 22926
Description: Lemma for minvec 22928. Any minimal point is less than 𝑆 away from 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x 𝑋 = (Base‘𝑈)
minvec.m = (-g𝑈)
minvec.n 𝑁 = (norm‘𝑈)
minvec.u (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
minvec.y (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
minvec.w (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
minvec.a (𝜑𝐴𝑋)
minvec.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
minvec.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
minvec.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minvec.d 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
Assertion
Ref Expression
minveclem6 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem minveclem6
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))
21oveqi 6536 . . . . . . 7 (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥)
3 minvec.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑋)
43adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝐴𝑋)
5 minvec.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6 minvec.x . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (Base‘𝑈)
7 eqid 2605 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
86, 7lssss 18700 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (LSubSp‘𝑈) → 𝑌𝑋)
95, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑋)
109sselda 3563 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑥𝑋)
114, 10ovresd 6673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴((dist‘𝑈) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
122, 11syl5eq 2651 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝐴(dist‘𝑈)𝑥))
13 minvec.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℂPreHil)
14 cphngp 22701 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ NrmGrp)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ NrmGrp)
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ NrmGrp)
17 minvec.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑈)
18 minvec.m . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
19 eqid 2605 . . . . . . . 8 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
2017, 6, 18, 19ngpds 22154 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2116, 4, 10, 20syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴(dist‘𝑈)𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2212, 21eqtrd 2639 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴𝐷𝑥) = (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
2322oveq1d 6538 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝐴𝐷𝑥)↑2) = ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2))
24 minvec.s . . . . . . . 8 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
25 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈s 𝑌) ∈ CMetSp)
26 minvec.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (TopOpen‘𝑈)
27 minvec.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
286, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27minveclem1 22916 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3029simp1d 1065 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ⊆ ℝ)
3129simp2d 1066 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑅 ≠ ∅)
32 0red 9893 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ∈ ℝ)
3329simp3d 1067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑌) → ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤)
34 breq1 4576 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑤 ↔ 0 ≤ 𝑤))
3534ralbidv 2964 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (∀𝑤𝑅 𝑥𝑤 ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
3635rspcev 3277 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
3732, 33, 36syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑌) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤)
38 infrecl 10848 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3930, 31, 37, 38syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑌) → inf(𝑅, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4024, 39syl5eqel 2687 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑆 ∈ ℝ)
4140resqcld 12848 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℝ)
4241recnd 9920 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
4342addid1d 10083 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑆↑2) + 0) = (𝑆↑2))
4423, 43breq12d 4586 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
45 cphlmod 22702 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ ℂPreHil → 𝑈 ∈ LMod)
4613, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4746adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
486, 18lmodvsubcl 18673 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑋𝑥𝑋) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
4947, 4, 10, 48syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋)
506, 17nmcl 22166 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
5116, 49, 50syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ)
526, 17nmge0 22167 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
5316, 49, 52syl2anc 690 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑥)))
54 infregelb 10850 . . . . . . 7 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5530, 31, 37, 32, 54syl31anc 1320 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑌) → (0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 0 ≤ 𝑤))
5633, 55mpbird 245 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
5756, 24syl6breqr 4615 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → 0 ≤ 𝑆)
5851, 40, 53, 57le2sqd 12857 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ((𝑁‘(𝐴 𝑥))↑2) ≤ (𝑆↑2)))
5924breq2i 4581 . . . 4 ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ))
60 infregelb 10850 . . . . 5 (((𝑅 ⊆ ℝ ∧ 𝑅 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝑅 𝑥𝑤) ∧ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ∈ ℝ) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6130, 31, 37, 51, 60syl31anc 1320 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ inf(𝑅, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6259, 61syl5bb 270 . . 3 ((𝜑𝑥𝑌) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑆 ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6344, 58, 623bitr2d 294 . 2 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤))
6427raleqi 3114 . . 3 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤)
65 fvex 6094 . . . . 5 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
6665rgenw 2903 . . . 4 𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V
67 eqid 2605 . . . . 5 (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦))) = (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
68 breq2 4577 . . . . 5 (𝑤 = (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
6967, 68ralrnmpt 6257 . . . 4 (∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ∈ V → (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
7066, 69ax-mp 5 . . 3 (∀𝑤 ∈ ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))(𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7164, 70bitri 262 . 2 (∀𝑤𝑅 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ 𝑤 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
7263, 71syl6bb 274 1 ((𝜑𝑥𝑌) → (((𝐴𝐷𝑥)↑2) ≤ ((𝑆↑2) + 0) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775  wral 2891  wrex 2892  Vcvv 3168  wss 3535  c0 3869   class class class wbr 4573  cmpt 4633   × cxp 5022  ran crn 5025  cres 5026  cfv 5786  (class class class)co 6523  infcinf 8203  cr 9787  0cc0 9788   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  2c2 10913  cexp 12673  Basecbs 15637  s cress 15638  distcds 15719  TopOpenctopn 15847  -gcsg 17189  LModclmod 18628  LSubSpclss 18695  normcnm 22128  NrmGrpcngp 22129  ℂPreHilccph 22694  CMetSpccms 22850
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-inf 8205  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-seq 12615  df-exp 12674  df-0g 15867  df-topgen 15869  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-xms 21872  df-ms 21873  df-nm 22134  df-ngp 22135  df-nlm 22138  df-cph 22696
This theorem is referenced by:  minveclem7  22927
  Copyright terms: Public domain W3C validator