MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4a 28581
Description: Lemma for minveco 28588. 𝐹 is convergent in the subspace topology on 𝑌. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4a (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4a
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 28518 . . . . . 6 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5 elin 4166 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
64, 5sylib 219 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
76simpld 495 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8 minveco.y . . . . . 6 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
9 minveco.d . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
10 eqid 2818 . . . . . 6 (IndMet‘𝑊) = (IndMet‘𝑊)
11 eqid 2818 . . . . . 6 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
128, 9, 10, 11sspims 28443 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
133, 7, 12syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (IndMet‘𝑊) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
146simprd 496 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ CBan)
15 eqid 2818 . . . . . 6 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
1615, 10cbncms 28569 . . . . 5 (𝑊 ∈ CBan → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
1714, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (IndMet‘𝑊) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
1813, 17eqeltrrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)))
19 minveco.x . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
20 minveco.m . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
21 minveco.n . . . . 5 𝑁 = (normCV𝑈)
22 minveco.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
23 minveco.j . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
24 minveco.r . . . . 5 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . 5 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
27 minveco.1 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
2819, 20, 21, 8, 1, 4, 22, 9, 23, 24, 25, 26, 27minvecolem3 28580 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘𝐷))
2919, 9imsmet 28395 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
301, 2, 293syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31 metxmet 22871 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
33 causs 23828 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹:ℕ⟶𝑌) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3432, 26, 33syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3528, 34mpbid 233 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
36 eqid 2818 . . . 4 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3736cmetcau 23819 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘(BaseSet‘𝑊)) ∧ 𝐹 ∈ (Cau‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
3818, 35, 37syl2anc 584 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
39 xmetres 22901 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)))
4036methaus 23057 . . . 4 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘(𝑋𝑌)) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
4132, 39, 403syl 18 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus)
42 lmfun 21917 . . 3 ((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ Haus → Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
43 funfvbrb 6813 . . 3 (Fun (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4441, 42, 433syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
4538, 44mpbid 233 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932   class class class wbr 5057  cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  infcinf 8893  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cexp 13417  ∞Metcxmet 20458  Metcmet 20459  MetOpencmopn 20463  𝑡clm 21762  Hauscha 21844  Cauccau 23783  CMetccmet 23784  NrmCVeccnv 28288  BaseSetcba 28290  𝑣 cnsb 28293  normCVcnmcv 28294  IndMetcims 28295  SubSpcss 28425  CPreHilOLDccphlo 28516  CBanccbn 28566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-nei 21634  df-lm 21765  df-haus 21851  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-ssp 28426  df-ph 28517  df-cbn 28567
This theorem is referenced by:  minvecolem4b  28582  minvecolem4  28584
  Copyright terms: Public domain W3C validator