Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvecolem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem minvecolem4b 27580
 Description: Lemma for minveco 27586. The convergent point of the cauchy sequence 𝐹 is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
minveco.m 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
minveco.n 𝑁 = (normCV𝑈)
minveco.y 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
minveco.u (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
minveco.w (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
minveco.a (𝜑𝐴𝑋)
minveco.d 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
minveco.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
minveco.r 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
minveco.s 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
minveco.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
minveco.1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
Assertion
Ref Expression
minvecolem4b (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑛,𝐹   𝑛,𝐽,𝑦   𝑦,𝑀   𝑦,𝑁   𝜑,𝑛,𝑦   𝑆,𝑛,𝑦   𝐴,𝑛,𝑦   𝐷,𝑛,𝑦   𝑦,𝑈   𝑦,𝑊   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑛)   𝑈(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑊(𝑛)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem minvecolem4b
StepHypRef Expression
1 minveco.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ CPreHilOLD)
2 phnv 27515 . . . 4 (𝑈 ∈ CPreHilOLD𝑈 ∈ NrmCVec)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ NrmCVec)
4 minveco.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan))
5 elin 3774 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((SubSp‘𝑈) ∩ CBan) ↔ (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
64, 5sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈) ∧ 𝑊 ∈ CBan))
76simpld 475 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈))
8 minveco.x . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9 minveco.y . . . 4 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
10 eqid 2621 . . . 4 (SubSp‘𝑈) = (SubSp‘𝑈)
118, 9, 10sspba 27428 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ (SubSp‘𝑈)) → 𝑌𝑋)
123, 7, 11syl2anc 692 . 2 (𝜑𝑌𝑋)
13 minveco.d . . . . . . . 8 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
148, 13imsxmet 27393 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
153, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
16 minveco.j . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
1716methaus 22235 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1815, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
19 lmfun 21095 . . . . 5 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun (⇝𝑡𝐽))
21 minveco.m . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
22 minveco.n . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
23 minveco.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
24 minveco.r . . . . . 6 𝑅 = ran (𝑦𝑌 ↦ (𝑁‘(𝐴𝑀𝑦)))
25 minveco.s . . . . . 6 𝑆 = inf(𝑅, ℝ, < )
26 minveco.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑌)
27 minveco.1 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝑛))↑2) ≤ ((𝑆↑2) + (1 / 𝑛)))
288, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27minvecolem4a 27579 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
29 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝐽t 𝑌) = (𝐽t 𝑌)
30 nnuz 11667 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
31 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (BaseSet‘𝑊) ∈ V
329, 31eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
3416mopntop 22155 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3515, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
36 xmetres2 22076 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
3715, 12, 36syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
38 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))
3938mopntopon 22154 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
4037, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌))
41 lmcl 21011 . . . . . . . 8 (((MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)) → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
4240, 28, 41syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ∈ 𝑌)
43 1zzd 11352 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4429, 30, 33, 35, 42, 43, 26lmss 21012 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
45 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) = (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))
4645, 16, 38metrest 22239 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4715, 12, 46syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) = (MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4847fveq2d 6152 . . . . . . 7 (𝜑 → (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌)) = (⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
4948breqd 4624 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑌))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5044, 49bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5128, 50mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
52 funbrfv 6191 . . . 4 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹) → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹)))
5320, 51, 52sylc 65 . . 3 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))‘𝐹))
5453, 42eqeltrd 2698 . 2 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑌)
5512, 54sseldd 3584 1 (𝜑 → ((⇝𝑡𝐽)‘𝐹) ∈ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  ran crn 5075   ↾ cres 5076  Fun wfun 5841  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  infcinf 8291  ℝcr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018   ≤ cle 10019   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  ↑cexp 12800   ↾t crest 16002  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  Topctop 20617  TopOnctopon 20618  ⇝𝑡clm 20940  Hauscha 21022  NrmCVeccnv 27285  BaseSetcba 27287   −𝑣 cnsb 27290  normCVcnmcv 27291  IndMetcims 27292  SubSpcss 27422  CPreHilOLDccphlo 27513  CBanccbn 27564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rest 16004  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-lm 20943  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27193  df-gid 27194  df-ginv 27195  df-gdiv 27196  df-ablo 27245  df-vc 27260  df-nv 27293  df-va 27296  df-ba 27297  df-sm 27298  df-0v 27299  df-vs 27300  df-nmcv 27301  df-ims 27302  df-ssp 27423  df-ph 27514  df-cbn 27565 This theorem is referenced by:  minvecolem4  27582
 Copyright terms: Public domain W3C validator