MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirauto Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirauto 26397
Description: Point inversion preserves point inversion. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirauto.m 𝑀 = (𝑆𝑇)
mirauto.x 𝑋 = (𝑀𝐴)
mirauto.y 𝑌 = (𝑀𝐵)
mirauto.z 𝑍 = (𝑀𝐶)
mirauto.0 (𝜑𝑇𝑃)
mirauto.1 (𝜑𝐴𝑃)
mirauto.2 (𝜑𝐵𝑃)
mirauto.3 (𝜑𝐶𝑃)
mirauto.4 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
mirauto (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)

Proof of Theorem mirauto
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirauto.x . . . 4 𝑋 = (𝑀𝐴)
8 mirauto.0 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑃)
9 mirauto.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝑇)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9mirf 26373 . . . . 5 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
11 mirauto.1 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
1210, 11ffvelrnd 6844 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
137, 12eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
14 eqid 2818 . . 3 (𝑆𝑋) = (𝑆𝑋)
15 mirauto.y . . . 4 𝑌 = (𝑀𝐵)
16 mirauto.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
1710, 16ffvelrnd 6844 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
1815, 17eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
19 mirauto.z . . . 4 𝑍 = (𝑀𝐶)
20 mirauto.3 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
2110, 20ffvelrnd 6844 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐶) ∈ 𝑃)
2219, 21eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑍𝑃)
23 mirauto.4 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) = 𝐶)
2423, 20eqeltrd 2910 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑃)
25 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mircgr 26370 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝐴 𝐵))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 24, 11, 16, 26mircgrs 26386 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
287a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (𝑀𝐴))
2923fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)) = (𝑀𝐶))
3029, 19syl6reqr 2872 . . . . 5 (𝜑𝑍 = (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵)))
3128, 30oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = ((𝑀𝐴) (𝑀‘((𝑆𝐴)‘𝐵))))
327, 15oveq12i 7157 . . . . 5 (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵))
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = ((𝑀𝐴) (𝑀𝐵)))
3427, 31, 333eqtr4d 2863 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑍) = (𝑋 𝑌))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 25, 16mirbtwn 26371 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵))
3623oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆𝐴)‘𝐵)𝐼𝐵) = (𝐶𝐼𝐵))
3735, 36eleqtrd 2912 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))
381, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 20, 11, 16, 37mirbtwni 26384 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵)))
3919, 15oveq12i 7157 . . . 4 (𝑍𝐼𝑌) = ((𝑀𝐶)𝐼(𝑀𝐵))
4038, 7, 393eltr4g 2927 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
411, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 14, 18, 22, 34, 40ismir 26372 . 2 (𝜑𝑍 = ((𝑆𝑋)‘𝑌))
4241eqcomd 2824 1 (𝜑 → ((𝑆𝑋)‘𝑌) = 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  pInvGcmir 26365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-concat 13911  df-s1 13938  df-s2 14198  df-s3 14199  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-cgrg 26224  df-mir 26366
This theorem is referenced by:  miduniq2  26400  krippenlem  26403
  Copyright terms: Public domain W3C validator