MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirbtwnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirbtwnb 25285
Description: Point inversion preserves betweenness. Theorem 7.15 of [Schwabhauser] p. 51. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
miriso.1 (𝜑𝑋𝑃)
miriso.2 (𝜑𝑌𝑃)
mirbtwnb.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirbtwnb (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))))

Proof of Theorem mirbtwnb
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 miriso.1 . . . 4 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 miriso.2 . . . 4 (𝜑𝑌𝑃)
1413adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌𝑃)
15 mirbtwnb.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑃)
1615adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑍𝑃)
17 simpr 475 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
181, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17mirbtwni 25284 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍)))
196adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
208adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝐴𝑃)
211, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10mirf 25273 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑀:𝑃𝑃)
2211adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑋𝑃)
2321, 22ffvelrnd 6253 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
2413adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑌𝑃)
2521, 24ffvelrnd 6253 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
2615adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑍𝑃)
2721, 26ffvelrnd 6253 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
28 simpr 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍)))
291, 2, 3, 4, 5, 19, 20, 10, 23, 25, 27, 28mirbtwni 25284 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → (𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mirmir 25275 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑌)) = 𝑌)
311, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mirmir 25275 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑋)) = 𝑋)
321, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15mirmir 25275 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑍)) = 𝑍)
3331, 32oveq12d 6545 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) = (𝑋𝐼𝑍))
3430, 33eleq12d 2681 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3534adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → ((𝑀‘(𝑀𝑌)) ∈ ((𝑀‘(𝑀𝑋))𝐼(𝑀‘(𝑀𝑍))) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3629, 35mpbid 220 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
3718, 36impbida 872 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ↔ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑋)𝐼(𝑀𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  distcds 15723  TarskiGcstrkg 25046  Itvcitv 25052  LineGclng 25053  pInvGcmir 25265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-s2 13390  df-s3 13391  df-trkgc 25064  df-trkgb 25065  df-trkgcb 25066  df-trkg 25069  df-cgrg 25124  df-mir 25266
This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  25293
  Copyright terms: Public domain W3C validator