MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircl 25456
Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mircl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
mircl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 25455 . 2 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
10 mircl.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
119, 10ffvelrnd 6316 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  Basecbs 15781  distcds 15871  TarskiGcstrkg 25229  Itvcitv 25235  LineGclng 25236  pInvGcmir 25447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-trkgc 25247  df-trkgb 25248  df-trkgcb 25249  df-trkg 25252  df-mir 25448
This theorem is referenced by:  mirmir  25457  mirreu  25459  mireq  25460  miriso  25465  mirmir2  25469  mirln  25471  mirconn  25473  mirhl  25474  mirbtwnhl  25475  mirhl2  25476  mircgrextend  25477  mirtrcgr  25478  miduniq  25480  miduniq1  25481  miduniq2  25482  ragcom  25493  ragcol  25494  ragmir  25495  mirrag  25496  ragflat2  25498  ragflat  25499  ragcgr  25502  footex  25513  colperpexlem1  25522  colperpexlem3  25524  mideulem2  25526  opphllem  25527  opphllem2  25540  opphllem3  25541  opphllem4  25542  opphllem6  25544  opphl  25546  colhp  25562  mirmid  25575  lmieu  25576  lmimid  25586  lmiisolem  25588  hypcgrlem1  25591  hypcgrlem2  25592  hypcgr  25593  sacgr  25622
  Copyright terms: Public domain W3C validator