MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mircl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mircl 26374
Description: Closure of the point inversion function. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mircl.x (𝜑𝑋𝑃)
Assertion
Ref Expression
mircl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem mircl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mirf 26373 . 2 (𝜑𝑀:𝑃𝑃)
10 mircl.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
119, 10ffvelrnd 6844 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  distcds 16562  TarskiGcstrkg 26143  Itvcitv 26149  LineGclng 26150  pInvGcmir 26365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-trkgc 26161  df-trkgb 26162  df-trkgcb 26163  df-trkg 26166  df-mir 26366
This theorem is referenced by:  mirmir  26375  mirreu  26377  mireq  26378  miriso  26383  mirmir2  26387  mirln  26389  mirconn  26391  mirhl  26392  mirbtwnhl  26393  mirhl2  26394  mircgrextend  26395  mirtrcgr  26396  miduniq  26398  miduniq1  26399  miduniq2  26400  ragcom  26411  ragcol  26412  ragmir  26413  mirrag  26414  ragflat2  26416  ragflat  26417  ragcgr  26420  footexALT  26431  footexlem1  26432  footexlem2  26433  footex  26434  colperpexlem1  26443  colperpexlem3  26445  mideulem2  26447  opphllem  26448  opphllem2  26461  opphllem3  26462  opphllem4  26463  opphllem6  26465  opphl  26467  colhp  26483  mirmid  26496  lmieu  26497  lmimid  26507  lmiisolem  26509  hypcgrlem1  26512  hypcgrlem2  26513  hypcgr  26514  sacgr  26544
  Copyright terms: Public domain W3C validator