Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirhl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirhl 25619
 Description: If two points 𝑋 and 𝑌 are on the same half-line from 𝑍, the same applies to the mirror points. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirhl.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirhl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
mirhl.a (𝜑𝐴𝑃)
mirhl.x (𝜑𝑋𝑃)
mirhl.y (𝜑𝑌𝑃)
mirhl.z (𝜑𝑍𝑃)
mirhl.1 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
Assertion
Ref Expression
mirhl (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))

Proof of Theorem mirhl
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . . . . 6 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 mirhl.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑃)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
10 mirhl.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑆𝐴)
11 mirhl.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1211adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑃)
13 mirhl.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑃)
1413adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
15 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15mireq 25605 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋 = 𝑍)
17 mirhl.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋(𝐾𝑍)𝑌)
18 mirhl.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (hlG‘𝐺)
19 mirhl.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑃)
201, 3, 18, 11, 19, 13, 6ishlg 25542 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(𝐾𝑍)𝑌 ↔ (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))))
2117, 20mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑍𝑌𝑍 ∧ (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))))
2221simp1d 1093 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑍)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → 𝑋𝑍)
2423neneqd 2828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑍)
2516, 24pm2.65da 599 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑋) = (𝑀𝑍))
2625neqned 2830 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍))
276adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
288adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝐴𝑃)
2919adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑃)
3013adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑍𝑃)
31 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
321, 2, 3, 4, 5, 27, 28, 10, 29, 30, 31mireq 25605 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌 = 𝑍)
3321simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑍)
3433adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → 𝑌𝑍)
3534neneqd 2828 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍)) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
3632, 35pm2.65da 599 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑀𝑌) = (𝑀𝑍))
3736neqned 2830 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍))
3821simp3d 1095 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)))
396adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
408adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
4113adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
4211adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
4319adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
44 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌))
451, 2, 3, 4, 5, 39, 40, 10, 41, 42, 43, 44mirbtwni 25611 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)))
4645ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) → (𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌))))
476adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
488adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝐴𝑃)
4913adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑍𝑃)
5019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌𝑃)
5111adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑋𝑃)
52 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋))
531, 2, 3, 4, 5, 47, 48, 10, 49, 50, 51, 52mirbtwni 25611 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))
5453ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋) → (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5546, 54orim12d 901 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑋)) → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
5638, 55mpd 15 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))
5726, 37, 563jca 1261 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋)))))
581, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mircl 25601 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ 𝑃)
591, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 19mircl 25601 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑌) ∈ 𝑃)
601, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 13mircl 25601 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑍) ∈ 𝑃)
611, 3, 18, 58, 59, 60, 6ishlg 25542 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ≠ (𝑀𝑍) ∧ (𝑀𝑌) ≠ (𝑀𝑍) ∧ ((𝑀𝑋) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑌)) ∨ (𝑀𝑌) ∈ ((𝑀𝑍)𝐼(𝑀𝑋))))))
6257, 61mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑀𝑋)(𝐾‘(𝑀𝑍))(𝑀𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  distcds 15997  TarskiGcstrkg 25374  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  hlGchlg 25540  pInvGcmir 25592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-trkgc 25392  df-trkgb 25393  df-trkgcb 25394  df-trkg 25397  df-cgrg 25451  df-hlg 25541  df-mir 25593 This theorem is referenced by:  opphllem3  25686
 Copyright terms: Public domain W3C validator