Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirln Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirln 25552
 Description: If two points are on the same line, so is the mirror point of one through the other. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirln.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirln.1 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
mirln.a (𝜑𝐴𝐷)
mirln.b (𝜑𝐵𝐷)
Assertion
Ref Expression
mirln (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem mirln
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
21fveq2d 6182 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐴) = (𝑀𝐵))
3 mirval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 mirval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 mirval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 mirln.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
11 mirln.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐷)
123, 6, 5, 8, 10, 11tglnpt 25425 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
14 mirln.m . . . . 5 𝑀 = (𝑆𝐴)
153, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14mircinv 25544 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐴) = 𝐴)
162, 15eqtr3d 2656 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐵) = 𝐴)
1711adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐷)
1816, 17eqeltrd 2699 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
198adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2012adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
21 mirln.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
223, 6, 5, 8, 10, 21tglnpt 25425 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
243, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 14, 23mircl 25537 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
25 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
263, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 14, 22mirbtwn 25534 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
2726adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
283, 5, 6, 19, 20, 23, 24, 25, 27btwnlng2 25496 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ (𝐴𝐿𝐵))
2910adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
3011adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐷)
3121adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐷)
323, 5, 6, 19, 20, 23, 25, 25, 29, 30, 31tglinethru 25512 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝐵))
3328, 32eleqtrrd 2702 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
3418, 33pm2.61dane 2878 1 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ran crn 5105  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  distcds 15931  TarskiGcstrkg 25310  Itvcitv 25316  LineGclng 25317  pInvGcmir 25528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-s1 13285  df-s2 13574  df-s3 13575  df-trkgc 25328  df-trkgb 25329  df-trkgcb 25330  df-trkg 25333  df-cgrg 25387  df-mir 25529 This theorem is referenced by:  opphllem2  25621  opphllem4  25623  colhp  25643
 Copyright terms: Public domain W3C validator