MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirmir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirmir 25303
Description: The point inversion function is an involution. Theorem 7.7 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirval.a (𝜑𝐴𝑃)
mirfv.m 𝑀 = (𝑆𝐴)
mirmir.b (𝜑𝐵𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirmir (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem mirmir
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . . 3 = (dist‘𝐺)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6 mirval.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 mirval.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
8 mirfv.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐴)
9 mirmir.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircl 25302 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ 𝑃)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mircgr 25298 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 (𝑀𝐵)) = (𝐴 𝐵))
1211eqcomd 2615 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐴 (𝑀𝐵)))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mirbtwn 25299 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑀𝐵)𝐼𝐵))
141, 2, 3, 6, 10, 7, 9, 13tgbtwncom 25128 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝐼(𝑀𝐵)))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 9, 12, 14ismir 25300 . 2 (𝜑𝐵 = (𝑀‘(𝑀𝐵)))
1615eqcomd 2615 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  distcds 15726  TarskiGcstrkg 25074  Itvcitv 25080  LineGclng 25081  pInvGcmir 25293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-trkgc 25092  df-trkgb 25093  df-trkgcb 25094  df-trkg 25097  df-mir 25294
This theorem is referenced by:  mircom  25304  mirreu  25305  mireq  25306  mirne  25308  mirf1o  25310  mirbtwnb  25313  miduniq2  25328  ragcom  25339  ragmir  25341  colperpexlem1  25368  colperpexlem2  25369  opphllem2  25386  opphllem3  25387  opphllem4  25388  opphllem6  25390  opphl  25392  colhp  25408  sacgr  25468
  Copyright terms: Public domain W3C validator