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Theorem mirreu3 25262
Description: Existential uniqueness of the mirror point. Theorem 7.8 of [Schwabhauser] p. 49. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mirreu.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirreu.d = (dist‘𝐺)
mirreu.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirreu.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirreu.a (𝜑𝐴𝑃)
mirreu.m (𝜑𝑀𝑃)
Assertion
Ref Expression
mirreu3 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Distinct variable groups:   ,𝑏   𝐴,𝑏   𝐼,𝑏   𝑀,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑏)

Proof of Theorem mirreu3
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mirreu.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴𝑃)
3 eqidd 2605 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴))
4 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 = 𝑀)
5 mirreu.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 mirreu.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
7 mirreu.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 mirreu.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
105, 6, 7, 9, 2, 2tgbtwntriv2 25094 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
114, 10eqeltrrd 2683 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))
12 oveq2 6530 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
1312eqeq1d 2606 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴)))
14 oveq1 6529 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐴 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝐴𝐼𝐴))
1514eleq2d 2667 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐴 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴)))
1613, 15anbi12d 742 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐴 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))))
1716rspcev 3276 . . . . 5 ((𝐴𝑃 ∧ ((𝑀 𝐴) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝐴))) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
182, 3, 11, 17syl12anc 1315 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
198ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20 mirreu.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑃)
2120ad3antrrr 761 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
22 simplrl 795 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
23 simprll 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
24 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴 = 𝑀)
2524oveq2d 6538 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝐴) = (𝑀 𝑀))
2623, 25eqtrd 2638 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑀))
275, 6, 7, 19, 21, 22, 21, 26axtgcgrid 25074 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑏)
28 simplrr 796 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
29 simprrl 799 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
3029, 25eqtrd 2638 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝑀))
315, 6, 7, 19, 21, 28, 21, 30axtgcgrid 25074 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 = 𝑐)
3227, 31eqtr3d 2640 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
3332ex 448 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3433ralrimivva 2948 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
3518, 34jca 552 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
368adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐺 ∈ TarskiG)
371adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝐴𝑃)
3820adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝑀) → 𝑀𝑃)
395, 6, 7, 36, 37, 38, 38, 37axtgsegcon 25075 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)))
40 ancom 464 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)))
418adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
421adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝐴𝑃)
4320adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑀𝑃)
44 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑏𝑃) → 𝑏𝑃)
455, 6, 7, 41, 42, 43, 44tgbtwncomb 25096 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑏𝑃) → (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ↔ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
4645anbi2d 735 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑏𝑃) → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4740, 46syl5bb 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝑃) → ((𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4847rexbidva 3025 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
4948adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 (𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏) ∧ (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴)) ↔ ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))))
5039, 49mpbid 220 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
518ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5220ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀𝑃)
531ad3antrrr 761 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑃)
54 simplrl 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏𝑃)
55 simplrr 796 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑐𝑃)
56 simpllr 794 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝐴𝑀)
57 simprlr 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
585, 6, 7, 51, 54, 52, 53, 57tgbtwncom 25095 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑏))
59 simprrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))
605, 6, 7, 51, 55, 52, 53, 59tgbtwncom 25095 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑀 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
61 simprll 797 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴))
62 simprrl 799 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴))
635, 6, 7, 51, 52, 52, 53, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62tgsegconeq 25093 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) ∧ (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))) → 𝑏 = 𝑐)
6463ex 448 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝑀) ∧ (𝑏𝑃𝑐𝑃)) → ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6564ralrimivva 2948 . . . 4 ((𝜑𝐴𝑀) → ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐))
6650, 65jca 552 . . 3 ((𝜑𝐴𝑀) → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
6735, 66pm2.61dane 2863 . 2 (𝜑 → (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
68 oveq2 6530 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 𝑏) = (𝑀 𝑐))
6968eqeq1d 2606 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ↔ (𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴)))
70 oveq1 6529 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑏𝐼𝐴) = (𝑐𝐼𝐴))
7170eleq2d 2667 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → (𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴) ↔ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴)))
7269, 71anbi12d 742 . . 3 (𝑏 = 𝑐 → (((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))))
7372reu4 3361 . 2 (∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ↔ (∃𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ∀𝑏𝑃𝑐𝑃 ((((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)) ∧ ((𝑀 𝑐) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑐𝐼𝐴))) → 𝑏 = 𝑐)))
7467, 73sylibr 222 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝑀 𝑏) = (𝑀 𝐴) ∧ 𝑀 ∈ (𝑏𝐼𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2774  wral 2890  wrex 2891  ∃!wreu 2892  cfv 5785  (class class class)co 6522  Basecbs 15636  distcds 15718  TarskiGcstrkg 25041  Itvcitv 25047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-nul 4707
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-op 4126  df-uni 4362  df-br 4573  df-iota 5749  df-fv 5793  df-ov 6525  df-trkgc 25059  df-trkgb 25060  df-trkgcb 25061  df-trkg 25064
This theorem is referenced by:  mircgr  25265  mirbtwn  25266  ismir  25267  mirf  25268  mireq  25273
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