MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirtrcgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mirtrcgr 25473
Description: Point inversion of one point of a triangle around another point preserves triangle congruence. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
mirval.d = (dist‘𝐺)
mirval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
mirval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
mirval.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mirval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mirtrcgr.e = (cgrG‘𝐺)
mirtrcgr.m 𝑀 = (𝑆𝐵)
mirtrcgr.n 𝑁 = (𝑆𝑌)
mirtrcgr.a (𝜑𝐴𝑃)
mirtrcgr.b (𝜑𝐵𝑃)
mirtrcgr.x (𝜑𝑋𝑃)
mirtrcgr.y (𝜑𝑌𝑃)
mirtrcgr.c (𝜑𝐶𝑃)
mirtrcgr.z (𝜑𝑍𝑃)
mirtrcgr.1 (𝜑𝐴𝐵)
mirtrcgr.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
Assertion
Ref Expression
mirtrcgr (𝜑 → ⟨“(𝑀𝐴)𝐵𝐶”⟩ ⟨“(𝑁𝑋)𝑌𝑍”⟩)

Proof of Theorem mirtrcgr
StepHypRef Expression
1 mirval.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 mirval.d . 2 = (dist‘𝐺)
3 mirtrcgr.e . 2 = (cgrG‘𝐺)
4 mirval.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 mirval.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mirval.s . . 3 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 mirtrcgr.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
9 mirtrcgr.m . . 3 𝑀 = (𝑆𝐵)
10 mirtrcgr.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
111, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mircl 25451 . 2 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑃)
12 mirtrcgr.c . 2 (𝜑𝐶𝑃)
13 mirtrcgr.y . . 3 (𝜑𝑌𝑃)
14 mirtrcgr.n . . 3 𝑁 = (𝑆𝑌)
15 mirtrcgr.x . . 3 (𝜑𝑋𝑃)
161, 2, 5, 6, 7, 4, 13, 14, 15mircl 25451 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝑃)
17 mirtrcgr.z . 2 (𝜑𝑍𝑃)
18 mirtrcgr.2 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
191, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp1 25310 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝑋 𝑌))
201, 2, 5, 4, 10, 8, 15, 13, 19tgcgrcomlr 25270 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝑌 𝑋))
211, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mircgr 25447 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 (𝑀𝐴)) = (𝐵 𝐴))
221, 2, 5, 6, 7, 4, 13, 14, 15mircgr 25447 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 (𝑁𝑋)) = (𝑌 𝑋))
2320, 21, 223eqtr4d 2670 . . 3 (𝜑 → (𝐵 (𝑀𝐴)) = (𝑌 (𝑁𝑋)))
241, 2, 5, 4, 8, 11, 13, 16, 23tgcgrcomlr 25270 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝐴) 𝐵) = ((𝑁𝑋) 𝑌))
251, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp2 25311 . 2 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝑌 𝑍))
261, 2, 5, 6, 7, 4, 8, 9, 10mirbtwn 25448 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ((𝑀𝐴)𝐼𝐴))
271, 6, 5, 4, 11, 10, 8, 26btwncolg1 25345 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((𝑀𝐴)𝐿𝐴) ∨ (𝑀𝐴) = 𝐴))
281, 6, 5, 4, 11, 10, 8, 27colcom 25348 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐿(𝑀𝐴)) ∨ 𝐴 = (𝑀𝐴)))
291, 2, 5, 6, 7, 4, 3, 9, 14, 10, 8, 15, 13, 19mircgrextend 25472 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 (𝑀𝐴)) = (𝑋 (𝑁𝑋)))
301, 2, 5, 4, 10, 11, 15, 16, 29tgcgrcomlr 25270 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀𝐴) 𝐴) = ((𝑁𝑋) 𝑋))
311, 2, 3, 4, 10, 8, 11, 15, 13, 16, 19, 23, 30trgcgr 25306 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵(𝑀𝐴)”⟩ ⟨“𝑋𝑌(𝑁𝑋)”⟩)
321, 2, 5, 3, 4, 10, 8, 12, 15, 13, 17, 18cgr3simp3 25312 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑍 𝑋))
331, 2, 5, 4, 12, 10, 17, 15, 32tgcgrcomlr 25270 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝑋 𝑍))
34 mirtrcgr.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
351, 6, 5, 4, 10, 8, 11, 3, 15, 13, 2, 12, 16, 17, 28, 31, 33, 25, 34tgfscgr 25358 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝐴) 𝐶) = ((𝑁𝑋) 𝑍))
361, 2, 5, 4, 11, 12, 16, 17, 35tgcgrcomlr 25270 . 2 (𝜑 → (𝐶 (𝑀𝐴)) = (𝑍 (𝑁𝑋)))
371, 2, 3, 4, 11, 8, 12, 16, 13, 17, 24, 25, 36trgcgr 25306 1 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝐴)𝐵𝐶”⟩ ⟨“(𝑁𝑋)𝑌𝑍”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  ⟨“cs3 13519  Basecbs 15776  distcds 15866  TarskiGcstrkg 25224  Itvcitv 25230  LineGclng 25231  cgrGccgrg 25300  pInvGcmir 25442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-xnn0 11309  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-s2 13525  df-s3 13526  df-trkgc 25242  df-trkgb 25243  df-trkgcb 25244  df-trkg 25247  df-cgrg 25301  df-mir 25443
This theorem is referenced by:  sacgr  25617
  Copyright terms: Public domain W3C validator